Nullstellen über Faktorisieren


Verfahren


Basiswissen


Faktorisieren heißt einen Term in eine Malkette, auch Produkt genannt, umzuformen. Aus Malketten kann man Nullstellen von Funktionen oft direkt ohne weiteres Rechnen ablesen. Dazu sind hier einige häufige Verfahren vorgestellt.

Kurzinhalt


◦ Hier wird erklärt, was Faktorisieren mit Nullstellen zu tun.
◦ Unten stehen die Links auf einzelne Verfahren.

Was meint Nullstelle hier?


◦ Dort wo ein Graph einer Funktion die x-Achse schneidet liegt eine Nullstelle.
◦ Nullstellen heißen so, weil dort der y-Wert der Funktion gleich 0 ist.
◦ Die Nullstelle selbst ist der x-Wert.

Was meint faktorisieren?


◦ Faktorisieren meint, dass man irgendeinen Term in einen Produktterm umwandelt.
◦ Produktterme werden auch "faktorisierte Form" oder Malketten genannt.
◦ Faktoren sind die Teile eines Produktterms.

Was wäre ein Beispiel?


◦ Hier ist ein Differenzterm: x²-4
◦ Er kann umgeformt werden in: (x - 2)(x+2)
◦ Zahlenprobe: egal welche Zahl man für das x einsetzt, ...
◦ bei beiden Termen kommt dann immer der gleiche Wert heraus.

Was hat Faktorisieren mit Nullstellen zu tun?


◦ Die Grundidee ist der "Satz vom Nullprodukt".
◦ Wenn in einer Malkette ein Faktor 0 ist, dann wird der ganze Term zu 0.
◦ Bei einem Produktterm kann man also einzelne Faktoren betrachten.
◦ Man muss nicht mehr den ganzen Term auf einem Blick betrachten.
◦ Da macht es sehr viel einfacher, die NS zu finden.

Ein Beispiel, wie es geht


◦ Finde die Nullstellen von 4x³-2x².
◦ Faktorisieren über Ausklammern: 2x²(2x-1).
◦ Einzelne Faktoren sind: 2x² und (2x-1).
◦ Faktoren einzeln Nullsetzen gibt die NS:
◦ 2x²=0 gibt x=0
◦ (2x-1)=0 gibt x=0,5
◦ Die NS sind 0 und 0,5.

Welche Verfahren gibt es?


◦ Faktorisieren über => Ausklammern => qck
◦ Faktorisieren über => Polynomdivision => qck
◦ Faktorisieren über => Binomische Formeln rückwärts => qck
◦ Faktorisieren über => Erste binomische Formel rückwärts => qck
◦ Faktorisieren über => Zweite binomische Formel rückwärts
◦ Faktorisieren über => Dritte binomische Formel rückwärts