Basiswissen

Was meint Ausklammern anschaulich?

• Man hat eine Summe, etwa: 12 Äpfel + 8 Birnen
  

• Man kann die Äpfel und Birnen auf mehrere Säcke verteilen.
  

• In jeden Sack soll die gleiche Anzahl von Äpfeln und Birnen.
  

• Man könnte zum Beispiel nehmen: 2 Säcke mit je 6 Äpfeln und 6 Birnen.
  

• Die Säcke werden durch die runden Klammern () angedeutet.
  

• Man kann schreiben: 12 Äpfel + 8 Birnen = 2 mal (6 Äpfel + 4 Birnen)
  

• Oder kurz und nur mit Zahlen: 12 + 8 = 2·(6+4)
  

Welche Sprechweisen gibt es?

• Ein neues Beispiel: 20 Äpfel + 10 Birnen = 5 mal (4 Äpfel + 2 Birnen)
  

• Oder wieder kurz in Zahlen: 20 + 10 = 5·(4 + 2)
  

• Man sagt hier: die 2 wurde ausgeklammert.
  

• Oder: die 2 wurde vor die Klammer gezogen.
  

• Die 2 nennt man auch den Vorfaktor.
  

Was ist die Gegenrechnung?

• Die Gegenrechnung zum Ausklammern ist das Ausmultiplizieren.
  

• Wenn man erst ausklammer und dann ausmultipliziert, ...
  

• muss wieder der ursprüngliche Term entstehen.
  

• Beispiel: 15x+10y ⭢ 5 ausklammern ⭢ 5·(3x+2y)
  

• Ausmultiplizieren: 5·(3x+2y) = 15x+10y ✔
  

• Mehr dazu unter ausmultiplizieren ↗
  

Was soll man vor die Klammer ziehen?

• Man kann jede Zahl außer der 0 vor eine Klammer ziehen.
  

• Man kann auch jede Variable, wie x, immer vor eine Klammer ziehen.
  

• Was man vor die Klammer zieht, hängt von der jeweiligen Aufgabe ab.
  

• Gut ist immer eine Zahl oder Variable, die in allen Teilen der Summe enthält.
  

• Beispiel a) 100+50: hier könnte man gut die 50 ausklammern: 50·(2+1)
  

• Beispiel b) 10x+5x: hier könnte man gut das x ausklammern: x·(10+5)
  

• Beispiel c) 4x³+x²: hier könnte man gut das x² ausklammern: x²·(4x+1)
  

• Mache immer die Probe mit dem Ausmultiplizieren.
  

• Dann sieht man gut, wie man ausklammern kann.
  

Wie klammert man aus?

• Man überlegt zuerst, was man vor die Klammer ziehen will.
  

• Man kann dann jeden Teil der Plus- oder Minuskette dadurch teilen.
  

• Das gibt den Term in der Klammer.
  

• Am Ende immer die Probe mit dem Ausmultiplizieren machen.
  

• Hier steht jetzt eine Schritt-für-Schritt Anleitung:
  

1. Schritt

• Beispiel: 4x² + 8x
  

• Diese Pluskette soll umgewandelt werden in die Form:
  

• Vorfaktor mal Klammer
  

• Man legt zuerst den Vorfaktor fest.
  

• Das kann jede Zahl oder jede Variable mit Ausnahme der 0 sein.
  

• Man könnte die Zahl 4, oder auch die 7 oder das x wählen.
  

• Wie wählen im Beispiel erst einmal die Zahl 4.
  

• Damit betrachten wir erst einmal das Verfahren.
  

2. Schritt

• Man notiert den Vorfaktor mit einem Malpunkt...
  

• Man öffnet dahinter eine runde Klammer:
  

• 4x² + 8x = 4·(
  

3. Schritt

• Man berechnet den Term in der Klammer.
  

• Man teilt jedes Glied der Plus- oder Minuskette durch den Vorfaktor.
  

• Das Ergebnis gibt den Term-in-der-Klammer. Am Ende die Klammer schließen:
  

• 4x² + 8x = 4·(x²+2x) ✔
  

Rechentipp

• 4x² durch x ist wie der Bruch 4x²/x.
  

• Der Zähler ist hier wie 4·x·x.
  

• Beim Bruch sieht man, dass man ...
  

• ein x kürzen kann, was dann ...
  

• 4x gibt.
  

Beispiele

• 4x² + 8x ⭢ 2 ausklammern ⭢ 2·(2x²+4x)
  

• 4x² + 8x ⭢ 4 ausklammern ⭢ 4·(1x²+2x)
  

• 4x² + 8x ⭢ 1 ausklammern ⭢ 1·(4x²+8x)
  

• 4x² + 8x ⭢ x ausklammern ⭢ x·(4x+8)
  

• 4x² + 8x ⭢ 0,5 ausklammern ⭢ 0,5·(8x²+16x)
  

• 4x² + 8x ⭢ 0,1 ausklammern ⭢ 0,1·(40x²+80x)
  

• 4x² + 8x ⭢ -4 ausklammern ⭢ -4·(-1x²-2x)
  

• 4x² + 8x ⭢ -1 ausklammern ⭢ -1·(-4x²-8x)
  

Synonyme

• Vor die Klammer ziehen ↗
  

• Faktorisieren ↗
  

• Ausklammern ↗