Satz vom Nullprodukt
Mathematik
Basiswissen
Enthält eine Malkette die Zahl 0 oder einen Term mit dem Wert 0 als Faktor, wird die ganze Malkette zu Null. Das nennt man den Satz vom Nullprodukt. Beispiel: (4+x)·0·(z+y+v). Das 0 mal irgendwas oder irgendwas mal 0 immer 0 ergibt, wird hier die ganze Malkette zu Null. Das ist hier näher erklärt.
Was heißt hier Produkt?
- 2·4=8
- Die Malkette links (2·4) ist ein => Produktterm
- Das Ergebnis rechts (die 8) ist der => Produktwert
- Beides nennt man kurz auch nur => Produkt
Was ist ein Nullprodukt?
- Nullprodukt meint eine Malkette, die zu 0 wird.
- Beispiel: 8·4·0 ist ein => Nullprodukt
- Die 0 ist der => Nullfaktor
Satz vom Nullprodukt
- Ein Produktterm (Malkette) besteht aus Faktoren.
- Gibt es in einem Produkt den Faktor 0 mindestens ein Mal, ...
- dann wird der ganze Produktterm immer automatisch zu 0.
- Das ist der Satz vom Nullprodukt.
Beispiel I
- 0·4 = 0
- 0·4·9999 = 0
- 3·7·0·1754 = 0
Beispiel II
- x·(x-1) = 0
- Der linke Faktor ist das x, der rechte die Klammer.
- Setzt man für x die 0 ein, wird der linke Faktor zu 0.
- Setzt man für x die 1 ein, wird der rechte Faktor zu 0.
- 0 und -1 wären also die Lösungen der Gleichung.
Beispiele III
- (x+3)·(x²-1)·x = 0
- Die linke Klammer ist der erste Faktor.
- Die zweite Klammer ist der zweite Faktor.
- Das alleinstehende x ist der dritte Faktor.
- Der linke Faktor wird für x=-3 zu 0.
- Der mittlere Faktor wird für x=-1 und x=1 zu 0.
- Der rechte Faktor wird für 0 zu 0.
- Die Lösungen der Gleichung wären {-3; 0; 1}
Wozu braucht man das?
- Zum Bestimmen von => Nullstellen über Faktorisieren
- Speziell für eine => zusammengesetzte Funktion
Aufgaben dazu?
Einige Aufgaben zum Satz vom Nullprodukt sind hier als Quickcheck zusammengestellt. Zu allen Aufgaben gibt es immer auch eine Lösung. Direkt zu den Aufgaben geht es über => qck