Gleichungen lösen über Faktorisieren
Beispiele
Basiswissen
0 = x²-4x kann man umformen in 0 = x·(x-4). Durch die Umformung ist auf der rechten Seite ein Produkt, das heißt eine Malkette entstanden. Eine solche Umwandlung nennt man eine Faktorisierung. Die einzelnen Teile der Malkette nennt man Faktoren. Aus diesen Faktoren kann man die Lösungen der Gleichung oft direkt ablesen. Das ist hier Schritt-für-Schritt erklärt.
Lösungsidee
- Der Grundgedanke dieses Verfahrens ist der Satz vom Nullprodukt:
- Eine Malkette wird 0, wenn mindestens einer ihrer Faktoren zu 0 wird.
- Beispiel: (x-3)(x+8) ist eine Malkette. Jede der Klammern ist ein Faktor.
- Der linke Faktor wird zu 0, wenn das x zu 3 wird.
- Der rechte Faktor wird zu 0, wenn das x zu -8 wird.
- Die 3 und die -8 machen also den ganzen Term zu 0.
- Diesen Gedanken nutzt man zum Lösen von Gleichungen.
- Siehe auch Satz vom Nullprodukt ↗
Beispiel I
- 0 = 0,25x²-x
- x ausklammern:
- 0 = x(0,25x-1)
- Alles wird 0, wenn man für x die 0 einsetzt.
- Die Klammer wird zu 0, wenn man für x die 4 einsetzt.
- 0 und 4 sind die Lösungen der Gleichung.
Beispiel II
- 0 = 16x⁴ + 4x³
- 4x³ ausklammern:
- 0 = 4x³(x + 1)
- Jetzt sieht man:
- Alles wird Null, wenn 4x³ Null wird.
- Das ist der Fall bei x=0
- Alles wird Null, wenn (x + 1) Null wird.
- Das ist der Fall bei x = -1
- 0 und -1 sind die Lösungen der Gleichung.
- Siehe auch quartische Gleichungen über Faktorisieren ↗