pq-Formel
Übersicht
Basiswissen
-p/2 ± √((p/2)²-q) ist die Standardformel zum Lösen einer quadratischen Gleichung. Die Gleichung muss dabei in der sogenannten Normalform gegeben sein: 0 = x² + px + q. Das ist näher erklärt.
Schreibweisen
◦ x = -p/2 ± Wurzel aus [(p/2)²-q]
◦ x = -p/2 ± √[(p/2)²-q]
Wann kann man die pq-Formel nutzen?
◦ Mit der pq-Formel kann man nur quadratische Gleichungen lösen.
◦ Mit der pq-Formel kann man jede quadratische Gleichung lösen.
◦ Die Gleichung muss in der Normalform vorliegen.
◦ Das ist hier näher erklärt.
1. Schritt: Normalform prüfen
◦ 0 = x² + px + q
◦ Links vom Gleichzeichen darf nur 0 stehen.
◦ Rechts kommt zuerst das x² ohne irgendetwas davor.
◦ Dann darf ein + oder - mit einer Zahl und einem x danach kommen.
◦ Am Ende darf ein + oder - mit einer Zahl ohne x kommen.
◦ Normalform nicht OK: 4=x²-8x+16 | links keine 0
◦ Normalform nicht OK: 0=2x²-8x+16 | 2 vor dem x²
◦ Normalform nicht OK: 0=-x²-8x+16 | - vor dem x²
◦ Normalform OK: 0=x²-8x+16 ✔
◦ Normalform OK: 0=x²+4x+0 ✔
◦ Normalform OK: 0=x²+0x+4 ✔
◦ Normalform OK: 0=x²+0x+0 ✔
2. Schritt: Normalform herstellen
◦ Falls man noch nicht die Normalform hat, ...
◦ dann muss man sie durch Umformen herstellen.
◦ Siehe unter => Normalform für pq-Formel herstellen
3. Schritt p und q festlegen
◦ Man hat die Normalform: 0 = x² - 8x + 15
◦ p und q aus der Normalform ablesen:
◦ Das p ist der Faktor (Zahl) vor dem x.
◦ Achtung: das Vorzeichen gehört dazu.
◦ Im Beispiel ist das p die Zahl -8.
◦ Das q ist die alleinstehende Zahl ohne x.
◦ Im Beispiel ist das p die +15
Häufige Fehler
◦ vor dem x-Quadrat steht noch ein Faktor (darf bei Normalform nicht sein).
◦ Vorzeichen von p und q nicht dabei. Die Vorzeichen gehören dazu.
Tipp
◦ Ein Vorzeichen gehört immer mit zur Zahl.
◦ Wenn vor dem x keine Zahl steht, dann ist p=1.
Sonderfall: das p fehlt
◦ Wenn es gar kein x ohne Quadrat gibt, dann ist p=0.
◦ Beispiel: 0 = x² + 16 ⭢ p = 0
Sonderfall: das q fehlt
◦ Wenn es am Ende keine Zahl für q gibt, dann ist q=0.
◦ Beispiele: 0 = x² - 4x ⭢ q = 0
4. Schritt: p und q in Formel einsetzen
◦ Setze die Zahlen von oben für p und q ein:
◦ Erste Nullstelle: x₁ = -p/2 + Wurzel aus [(p/2)² - q]
◦ Zweite Nullstelle: x₂ = -p/2 - Wurzel aus [(p/2)² - q]
Tipp: wie viele Lösungen es geben kann
◦ Der Term unter der Wurzel heißt Diskriminante.
◦ Ist die Diskriminante kleiner als Null, dann gibt es keine Lösungen.
◦ Ist die Diskriminante genau gleich Null, dann gibt es genau eine Lösung.
◦ ist die Diskriminante größer als Null, dann gibt es zwei Lösungen.
◦ Mehr unter => Diskriminante bei pq-Formel
Beispiel I
0 = x² -8x + 15
p = -8
q = 15
x₁ = 5 ✔
x₂ = 3 ✔
Beispiel II
0 = x² + 4x
p = 4
q = 0
x₁ = -4 ✔
x₂ = 0 ✔
Beispiel III
0 = x² - 16
p = 0
q = -16
x₁ = -4 ✔
x₂ = 4 ✔
Aufgaben dazu
Aufgaben zur pq-Formel sind hier als Quickcheck zusammengestellt. Zu jeder Aufgabe gibt es immer auch eine Lösung. Direkt zu den Aufgaben geht es über => qck
