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pq-Formel

Übersicht

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Basiswissen


  • p/2 ± √((p/2)²-q) ist die Standardformel zum Lösen einer quadratischen Gleichung. Die Gleichung muss dabei in der sogenannten Normalform gegeben sein: 0 = x² + px + q. Das ist näher erklärt.




Bildbeschreibung und Urheberrecht
Die pq-Formel: vor allem die sichere Handhabung der Vorzeichen benötigt viel Aufmerksamkeit.☛


Schreibweisen für die pq-Formel


  • x = -p/2 ± Wurzel aus [(p/2)²-q]
  • x = -p/2 ± √[(p/2)²-q]

Wann kann man die pq-Formel nutzen?


  • Mit der pq-Formel kann man jede quadratische Gleichung lösen.
  • Das wird hier jetzt näher erklärt.

MERKSATZ:

MERKSATZ 1.0: Die pq-Formel kann man immer zum Lösen von quadratischen Gleichungen benutzen. Man kann sie aber auch nur zum Lösen von quadratischen Gleichungen nutzen. ✓

1. Schritt: Normalform prüfen


  • 0 = x² + px + q
  • Links vom Gleichzeichen darf nur 0 stehen.
  • Rechts kommt zuerst das x² ohne irgendetwas davor.
  • Dann darf ein + oder - mit einer Zahl und einem x danach kommen.
  • Am Ende darf ein + oder - mit einer Zahl ohne x kommen.
  • Normalform nicht OK: 4=x²-8x+16 | links keine 0
  • Normalform nicht OK: 0=2x²-8x+16 | 2 vor dem x²
  • Normalform nicht OK: 0=-x²-8x+16 | - vor dem x²
  • Normalform OK: 0=x²-8x+16 ✔
  • Normalform OK: 0=x²+4x+0 ✔
  • Normalform OK: 0=x²+0x+4 ✔
  • Normalform OK: 0=x²+0x+0 ✔

MERKSATZ:

MERKSATZ 2.0: Die pq-Formel kann man nur verwenden, wenn man die quadratische Gleichung in der Normalform 0 = x²+px+q gegeben hat. Vor dem x² darf nichts mehr stehen. ✓

2. Schritt: Normalform herstellen


  • Falls man noch nicht die Normalform hat, ...
  • dann muss man sie durch Umformen herstellen.

3. Schritt p und q festlegen


  • Man hat die Normalform: 0 = x² - 8x + 15
  • p und q aus der Normalform ablesen:
  • Das p ist der Faktor (Zahl) vor dem x.
  • Achtung: das Vorzeichen gehört dazu.
  • Im Beispiel ist das p die Zahl -8.
  • Das q ist die alleinstehende Zahl ohne x.
  • Im Beispiel ist das p die +15

MERKSATZ:

MERKSATZ 3.0: Die Vorzeichen gehören zum p und zum q. Bei 0 = x²-8x+15 ist p=-8 und q=8. ✓

Tipp


  • Ein Vorzeichen gehört immer mit zur Zahl.
  • Wenn vor dem x keine Zahl steht, dann ist p=1.

Sonderfall: das p fehlt


  • Wenn es gar kein x ohne Quadrat gibt, dann ist p=0.
  • Beispiel: 0 = x² + 16 ⭢ p = 0

Sonderfall: das q fehlt


  • Wenn es am Ende keine Zahl für q gibt, dann ist q=0.
  • Beispiele: 0 = x² - 4x ⭢ q = 0

MERKSATZ:

MERKSATZ 4.0: Fehlt das Glied nur mit, so ist p=0. Fehlt das Glied ganz ohne x (nur Zahl), dann ist q=0. ✓

4. Schritt: p und q in Formel einsetzen


  • Setze die Zahlen von oben für p und q ein:
  • Erste Nullstelle: x₁ = -p/2 + Wurzel aus [(p/2)² - q]
  • Zweite Nullstelle: x₂ = -p/2 - Wurzel aus [(p/2)² - q]

Tipp: wie viele Lösungen es geben kann


  • Der Term unter der Wurzel heißt Diskriminante.
  • Ist die Diskriminante kleiner als Null, dann gibt es keine Lösungen.
  • Ist die Diskriminante genau gleich Null, dann gibt es genau eine Lösung.
  • ist die Diskriminante größer als Null, dann gibt es zwei Lösungen.

Beispiel I


0 = x² -8x + 15
p = -8
q = 15
x₁ = 5 ✔
x₂ = 3 ✔

Beispiel II


0 = x² + 4x
p = 4
q = 0
x₁ = -4 ✔
x₂ = 0 ✔

Beispiel III


0 = x² - 16
p = 0
q = -16
x₁ = -4 ✔
x₂ = 4 ✔

Aufgaben dazu


Aufgaben zur pq-Formel sind hier als Quickcheck zusammengestellt. Zu jeder Aufgabe gibt es immer auch eine Lösung. Direkt zu den Aufgaben geht es über => qck