Basiswissen

Eine quadratische Gleichung kann man immer mit der pq-Formel lösen. Um die pq-Formeln anwenden zu können, muss die Gleichung aber in der sogenannten Normalform vorliegen. Liegt die Gleichung in einer anderen Form vor, muss sie Gleichung erst in die Normalform umgewandelt werden. Weiter unten wird erklärt, wie das geht.

Das Ziel der Umwandlung

Gegeben: Faktorisierte Form: 0 = (x+a)·(x+b)

Gesucht: Normalform: 0 = x² + px + q

Dann Gleichungen über pq-Formel ↗

Die Umwandlung ist sinnlos

Bevor du dir betrachtest, wie die Umwandlung geht, solltest du dir aber klar machen, dass sie vielleicht gar nicht nötig ist. Die pq-Formel braucht man normalerweise, um die Lösungen der Gleichung herauszufinden. Die Lösungen kann man aber auch sofort aus der faktorisierten Form ablesen. Eine Umwandlung ist damit überflüssig.

Lösungen aus der faktorisierten Form ablesen

Aus der faktorisierten Form 0 = (x+4)·(x-5) kann man die Lösungen der Gleichung sofort ohne weitere Rechnung ablesen. Hier sind die Lösungen der Gleichung x=-4 und x=5. Wie man die Lösungen direkt abliest ist erklärt im Artikel zum sogenannten Satz vom Nullprodukt ↗

Und wenn man doch umformen will?

Vielleicht gibt es doch Gründe, dass man die Normalform haben möchte. Dann ist jetzt ein Verfahren beschrieben, wie man aus der faktorisierten Form immer die Normalform herstellen kann:

Die Seite mit der 0 (meistens links) wird überhaupt nicht verändert.

Die andere Seite wird ausmultiplizieren: 0 = x² + 4x - 5x - 20

Zum Ausmultiplizieren siehe auch Klammer mal Klammer ↗

Die ausmultiplizierte Seite zusammenfassen: 0 = x² - 1x - 20

Ganze Gleichung hinschreiben: 0 = x² - 1x - 20

Das ist die Normalform für die pq-Formel.

Das p wäre hier -1

Das q wäre hier 20

Jetzt pq-Formel ↗