Basiswissen

Was sind kubische Gleichungen?

• Eine kubische Gleichung ist immer auch eine ganzrationale Gleichung ↗
  

• Bei einer kubischen Gleichungen kommt mindestens einmal x³ vor.
  

• Drei ist auch die höchste Hochzahl, die bei dem x vorkommt.
  

• Typisches Beispiel: x³+2x²-x-2=0
  

Was meint "Gleichung lösen"?

• Das heißt, man soll für x eine Zahl zum Einsetzen finden, mit der die Gleichung aufgeht.
  

• Beispiel: x³-x²=0. Setzt man die 1 oder die 0 ein, dann geht die Gleichung auf.
  

• Setzt man andere Zahlen als 1 oder 0 ein, dann geht die Gleichung nicht auf.
  

• Nur die 1 und die 0 sind Lösungen dieser kubischen Gleichung.
  

Was meint Faktorisieren?

• Faktorisieren meint, aus einem Term eine Malkette zu machen.
  

• Das häufigste - aber nicht einzige - Verfahren dazu ist das Ausklammern.
  

• Beispiel: aus der Summe x²+x kann man x ausklammern und kriegt x(x+1).
  

• Der Term x(x+1) ist jetzt eine Malkette, denn nach dem ersten x steht ein gedachtes Malzeichen.
  

• Jeder Teil einer Malkette heißt "Faktor", daher der Name "faktorisieren".
  

Wann soll man faktorisieren?

• Erst einmal: nicht alle kubischen Gleichungen kann man mit Faktorisieren lösen.
  

• Aber wenn es geht, dann geht es meist sehr schnell und bequem.
  

• Es geht immer, wenn man die Gleichung in die folgende Form bringen kann:
  

• 0=ax³+bx²+cx
  

• Links vom Gleichzeichen darf nur eine Null stehen.
  

• Rechts vom Gleichzeichen dürfen nur Glieder mit x stehen.
  

• Es darf kein Absolutglied (Term ohne x) vorkommen.
  

• Siehe auch absolutes Glied ↗
  

Wie faktorisiert man?

• Am besten klammert man der Reihe nach so oft ein x aus, wie möglich.
  

• Beispiel: 0=2x³+4x²
  

• x ausklammern gibt: 0=x(2x²+4x)
  

• Noch ein x ausklammern gibt: 0=x²(2x+4)
  

• Weiter ausklammern geht nicht.
  

• Das ist die faktorisierte Form ↗
  

Was hat man vom Faktorisieren?

• Man kann dann den Satz vom Nullprodukt anwenden.
  

• Ihm zufolge gilt: Ist ein Faktor in einer Malkette 0, wird die ganze Kette zu 0.
  

• Beispiel: 0= (x-2)(x+2) wird Null, wenn die erste Klammer oder auch die zweite 0 wird.
  

• Jetzt muss man nur noch nachsehen, für welche x die einzelnen Faktoren zu Null werden.
  

• Im Beispiel hier wären das: x=2 oder x=-2.
  

• So sieht man schnell, welche x die Gleichung lösen.
  

Was hat die pq-Formel damit zu tun?

• Oft bleibt beim Faktorisieren in einer Klammer ein quadratischer Term übrig.
  

• Für welche x dieser Term zu 0 wird, kann man über die pq-Formel herausfinden.
  

• Beispiel: 0=x(x²-6x+8)
  

• x vor der Klammern gibt Lösung x=0
  

• Term in der Klammer gibt über pq-Formel die Lösungen x=2 und x=4.
  

• Siehe auch pq-Formel ↗
  

Tipps

• Versuche immer erst auszuklammern.
  

• Probiere dann, ob eine der binomischen Formeln geht.
  

• x=0 ist immer eine Lösung.