Kubische Gleichungen über Faktorisieren
Lösungsverfahren
Basiswissen
0 = 4x³-2x² gibt faktorisiert (ausgeklammert) die Gleichung 0 = 2x²·(2x-1). In dieser Form kann man die Nullstellen über den Satz vom Nullprodukt leicht bestimmen: man betrachtet sich die Teile der Malkette einzeln: 2x² wird 0, wenn man für x die 0 einsetzt und 2x-1 wird 0, wenn man für x die Zahl ½ einsetzt. Die Lösungen der Gleichung sind also 0 und ½. Das ist hier ausführlich erklärt.
Was sind kubische Gleichungen?
- Kubische Gleichungen gehören zu den ganzrationalen Gleichungen.
- Bei einer kubischen Gleichungen kommt mindestens einmal x³ vor.
- Drei ist auch die höchste Hochzahl, die bei dem x vorkommt.
- Typisches Beispiel: x³+2x²-x-2=0
Was meint "Gleichung lösen"?
- Das heißt, man soll für x eine Zahl zum Einsetzen finden, mit der die Gleichung aufgeht.
- Beispiel: x³-x²=0. Setzt man die 1 oder die 0 ein, dann geht die Gleichung auf.
- Setzt man andere Zahlen als 1 oder 0 ein, dann geht die Gleichung nicht auf.
- Nur die 1 und die 0 sind Lösungen dieser kubischen Gleichung.
Was meint Faktorisieren?
- Faktorisieren meint, aus einem Term eine Malkette zu machen.
- Das häufigste - aber nicht einzige - Verfahren dazu ist das Ausklammern.
- Beispiel: aus der Summe x²+x kann man x ausklammern und kriegt x(x+1).
- Der Term x(x+1) ist jetzt eine Malkette, denn nach dem ersten x steht ein gedachtes Malzeichen.
- Jeder Teil einer Malkette heißt "Faktor", daher der Name "faktorisieren".
Wann soll man faktorisieren?
- Erst einmal: nicht alle kubischen Gleichungen kann man mit Faktorisieren lösen.
- Aber wenn es geht, dann geht es meist sehr schnell und bequem.
- Es geht immer, wenn man die Gleichung in die folgende Form bringen kann:
- 0=ax³+bx²+cx
- Links vom Gleichzeichen darf nur eine Null stehen.
- Rechts vom Gleichzeichen dürfen nur Glieder mit x stehen.
- Es darf kein Absolutglied (Term ohne x) vorkommen.
Wie faktorisiert man?
- Am besten klammert man der Reihe nach so oft ein x aus, wie möglich.
- Beispiel: 0=2x³+4x²
- x ausklammern gibt: 0=x(2x²+4x)
- Noch ein x ausklammern gibt: 0=x²(2x+4)
- Weiter ausklammern geht nicht.
- Das ist die faktorisierte Form ↗
Was hat man vom Faktorisieren?
- Man kann dann den Satz vom Nullprodukt anwenden.
- Ihm zufolge gilt: Ist ein Faktor in einer Malkette 0, wird die ganze Kette zu 0.
- Beispiel: 0= (x-2)(x+2) wird Null, wenn die erste Klammer oder auch die zweite 0 wird.
- Jetzt muss man nur noch nachsehen, für welche x die einzelnen Faktoren zu Null werden.
- Im Beispiel hier wären das: x=2 oder x=-2.
- So sieht man schnell, welche x die Gleichung lösen.
Was hat die pq-Formel damit zu tun?
- Oft bleibt beim Faktorisieren in einer Klammer ein quadratischer Term übrig.
- Für welche x dieser Term zu 0 wird, kann man über die pq-Formel herausfinden.
- Beispiel: 0=x(x²-6x+8)
- x vor der Klammern gibt Lösung x=0
- Term in der Klammer gibt über pq-Formel die Lösungen x=2 und x=4.
- Siehe auch pq-Formel ↗
Tipps
- Versuche immer erst auszuklammern.
- Probiere dann, ob eine der binomischen Formeln geht.
- x=0 ist immer eine Lösung.