Nullstellen von ganzrationalen Funktionen bestimmen
25 Aufgaben für den Einstieg
Vorab
- Das Dach ^ heißt "hoch".
Denke an die folgenden Möglichkeiten:
- Probieren
- pq-Formel
- ABC-Formel
- Satz des Vieta,
- Polynomdivision
- Satz vom Nullprodukt
- Faktorisieren (Ausklammern)
- Substitution (bei biquadratischen Funktionen)
a) f(x) = x³ - 2x² - 3x
b) f(x) = x^4 - 19x² + 48
c) f(x) = (x-2)(x+1)(x+3)(x+2,5)
d) f(x) = (x-1)(x+1,5)(x+1)^2
e) f(x) = x³ + 4x² + 4x
f) f(x) = x² + 2x - 3
g) f(x) = x^4 - 5x² + 4
h) f(x) = x^4 - 13x² + 36
i) f(x) = x^4 - 16
j) f(x) = x^4 - 81
k) f(x) = x³ - 27
l) f(x) = x^4 + 2
m) f(x) = -x³ - 27
n) f(x) = x^5 - x³
o) f(x) = x^5 + x³
Bei den folgenden Aufgaben musst du die erste Nullstelle über Probieren finden. Anschließend kann der Term mit einer Polynomdivision weiter vereinfacht werden:
p) f(x) = 2x³ - 3x² - 23x + 12
q) f(x) = 1x³ + 6x² - 24x - 64
r) f(x) = 1x^4 - 6x³ + 8x² + 6x - 9
s) f(x) = 1x³ + 6x² - 32
t) f(x) = 1x^4 + 1x³ - 7x² - 1x + 6
Hier hilft die Substitution
u) f(x) = x^6 - 35x³ + 216
v) f(x) = x^6 - 18x^4 + 81x²
w) f(x) = x^6 - 10x^4 + 31x² - 30
x) f(x) = x^6 + 7x³ - 8
y) f(x) = x^6 - 4x^4 + 3x²
Lösungen
Angegeben sind immer die x-Werte der Nullstellen.
Die y-Werte sind ja automatisch immer gleich Null.
a) -1, 0, 3
b) -4, 0, Wurzel von 3, minus Wurzel von 3
c) -3, -2,5, -1, 2
d) -1,5, -1, 1
e) -2, 0
f) -3, 1
g) -2, -1, 1, 2
h) -3, -2, 2, 3
i) -2, 2
j) -3, 3
k) 3
l) keine Nullstellen
m) -3
n) -1, 0, 1
o) 0
p) -3, 0,5, 4
q) -8, -2, 4
r) -1, 1, 3
s) -4, 2
t) -3, -1, 1, 2
u) 2; 3
v) -3; 0; 3
w) -Wurzel(5); -Wurzel(3); -Wurzel(2); Wurzel(2); Wurzel(3); Wurzel(5)
x) -2; 1
y) -Wurzel(3); -1; 0; 1; Wurzel(3)