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Nullstellen von e-Funktionen bestimmen

Übersicht

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Basiswissen｜ Was ist eine e-Funktion an sich?｜ Wann hat eine e-Funktion eine Nullstelle?｜ Nullstellen über Umstellen｜ Nullstellen über den Satz vom Nullprodukt｜ Nullstellen über Probieren｜ Wann gibt es keine Nullstellen?｜ Aufgaben dazu


Basiswissen


Probieren und Umstellen sind die üblichen Verfahren. Es gibt aber auch e-Funktionen ohne Nullstellen. Das beste Verfahren zur Lösung hängt von der Art des Funktionstermes ab. Hier sind verschiedene Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen von e-Funktionen kurz vorgestellt.



Bildbeschreibung und Urheberrecht
f(x)=e^x-4: diese nach unten verschobene elementare e-Funktion hat genau eine Nullstelle, sie liegt auf der x-Achse bei etwa 1,386.☛


Was ist eine e-Funktion an sich?


f(x) = e^(4x) Als e-Funktion gilt eine Funktion, die eine Potenz hat bei der die Eulersche Zahl e (etwa 2,718) in der Basis steht und im Exponenten von e ein x vorkommt. In der Praxis kommt die e-Funktion aber auch verbunden mit anderen Funktionstypen vor. Mehr zur Definition steht unter e-Funktion ↗

Wann hat eine e-Funktion eine Nullstelle?


Die elementare, das heißt die einfache e-Funktion f(x)=eˣ hat keine Nullstelle. Daran ändert sich auch nichts, wenn der Exponent komplizierter wird oder die e-Funktion mit einer konstanten Zahl multiplziert wird. Nullstellen können aber auftreten, wenn die e-Funktion mal einem Term mit Nullstellen gerechnet wird oder als ganzes über ein Minus-Glied ab Ende vom Graph her nach unten verschoben wird. Man spricht bei solchen Erweiterungen eines einfachen elementaren Funktionsterm auch von einer Verkettung ↗

Nullstellen über Umstellen


  • f(x)=0 setzen, dann nach x umstellen.
  • Am Ende muss man logarithmieren.
  • Beispiel: f(x) = eˣ - 30
  • Nullsetzen: 0 = eˣ - 30
  • Umstellen: eˣ = 30
  • Logarithmieren: ln 30 zur Basis 4 = x
  • Taschenrechner oder Tabelle: x ist etwa 3,40.

Nullstellen über den Satz vom Nullprodukt


  • f(x) = (x-8)·eˣ
  • Ist ein Faktor Null, wird der ganze Term zu Null.
  • Der Term (x-8)·eˣ besteht aus zwei Faktoren.
  • Der Faktor rechts ist das eˣ. Das kann nie Null werden.
  • Der Faktor links ist der Klammerterm (x-8).
  • Das wird zu Null, wenn man x zu 8 macht.
  • Als ist 8 die Nullstelle der gesamten e-Funktion.

Nullstellen über Probieren


  • Zum Beispiel:
  • f(x) = eˣ-e
  • Hier sieht man mit etwas Zahlengefühl, dass x=1 die Lösung ist.
  • Probieren geht meistens aber nicht leicht, das e-hoch irgendetwas im Kopf schwer zu rechnen ist.
  • Normalerweise versucht man die Gleichung immer nach x umzustellen.
  • Mit einem Taschenrechner kann man sich aber an Lösung herantasten.

Wann gibt es keine Nullstellen?


  • Immer dann, wenn der Potenzterm alleine eine steht.
  • f(x) = eˣ hat keine Nullstellen.
  • f(x) = e²ˣ⁻⁴ hat keine Nullstellen.

Aufgaben dazu


Einige kurze Aufgaben zum Bestimmen von Nullstellen von e-Funktionen sind hier mit Lösungen zusammengestellt als Quickcheck. Zu den Aufgaben geht es über => qck