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Logarithmieren

Definition | Sinn | Anleitung

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Basiswissen｜ Gleichungen logarithmieren｜ Tipps｜ Was meint "Logarithmieren" bei Zahlen?｜ Wozu ist Logarithmieren gut?｜ Was bedeuten lg, ln, ld und lb?｜ Was wären Beispiele?｜ Legende


Basiswissen


Das Logarithmieren kann man immer dann nutzen, wenn man eine Gleichung hat, bei der die Unbekannte, oft das x, im Exponenten (Hoch-Term) steht. Bei der Gleichung 4ˣ = 64 steht die Unbekannte, das x im Exponenten. Man kann die Gleichung umformen in log₄64=x. Die linke Seite der Gleichung kann man mit einem Taschenrechner ausrechnen. Man erhält dann x=3. Man hat die Gleichung gelöst über Logarithmieren.



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Gleichungen logarithmieren


Das Logarithmieren wird häufig verwendet, um Gleichungen zu lösen, bei denen das x im Exponenten einer Potenz steht. Kann man eine solche Gleichung durch Logarithmieren umformen, kann man sie anschließend mit dem Taschenrechner lösen. Dazu ist es oft hilfreich, diesen Vorgang in Sprache fassen zu können:

  • 4ˣ = 64 ist sprachlich: 4 hoch was gibt 64
  • log₄64=x ist sprachlich: 4 hoch was gibt 64?

Der Spruch "4 hoch was gibt 64" ist sozusagen ein sprachliches Scharnier, das für beide Darstellungsweisen funktioniert. Man kann die Logarithmus-Schreibweise immer so versprachlichen, dass man mit der tiefgestellten kleinen Zahl anfängt, hier die Zahl 4. Diese Zahl nennt man auch die Basis (immer unten). Dann fragt man "hoch was gibt" und dann folgt die groß geschriebene Zahl, hier die 64, der sogenannte Numerus. Das ist noch näher erklärt im Artikel Exponentialgleichungen über Logarithmieren ↗

Tipps


  • Beispiel: 10²=100 in Logarithmusschreibweise?
  • Die gesuchte Hochzahl steht nach dem Logarithmieren alleine.
  • Die Basis der Potenz (bei 10² die Zahl 10) ist auch beim Logarithmus die Basis.
  • Was übrig bleibt ist der Numerus. Er kommt hinter die Abkürzung log.
  • Die Basis 10 deutet man über lg an. lg heißt: die Basis ist 10.
  • Also: 10²=100 als Logarithmus: lg 100 = 2

Was meint "Logarithmieren" bei Zahlen?


  • Das meint, eine Zahl x oder einen Term als Exponent einer festen Basis schreiben.
  • Der Exponent, der aus der Basis b wieder die Zahl x macht heißt Logarithmus von x.
  • Beispiel: 8 ist dasselbe wie 2³.
  • Die 2 wäre hier die Basis.
  • Die 3 wäre der Exponent.
  • Man sagt: Der Logarithmus von 8 zur Basis 2 ist 3.
  • 8 Logarithmiert zur Basis 2 gibt 3.

Wozu ist Logarithmieren gut?


  • Heute verwendet man es vor allem zum Lösen von Exponentialgleichungen.
  • Aus 2^x=8 wird x = Logarithmus von 8 zur Basis 2
  • Die rechte Seite kann man mit dem TR ausrechnen.
  • Das Ergebnis wäre hier die Zahl 3.

Was bedeuten lg, ln, ld und lb?


  • Ein Logarithmus hat immer eine Basis.
  • Für häufig verwendet Basen hat man feste Abkürzungen gewählt:
  • lg meint: Logarithmus zur Basis 10.
  • ln meint: Logarithmus zur Basis e.
  • ld meint: Logarithmus zur Basis 2.
  • lb meint: Logarithmus zur Basis 2.

Was wären Beispiele?


  • 10^3 = 1000 wird zu lg 1000 = 3
  • 10^x = 100 wird zu lg 100 = x
  • e^x = 40 wird zu ln 40 = x
  • 2^3 = 8 wird zu lb 8 = 2

Legende


  • Das Dach ^ steht für "hoch".