Logarithmus
Definition
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Beispiel 10²=100 ·
Für welchen Zahlen gibt es den Logarithmus? ·
Was ist der Nutzen des Logarithmus?
Basiswissen
2 hoch was gibt 8? Die Antwort 3 ist auch der Logarithmus. Ein Logarithmus ist eine Hochzahl, die aus einer gegebenen Basis einen gewünschten Potenzwert erzeugt. Das ist hier näher erklärt.
Definition
Der Logarithmus ist eine feste Zahl, die eine eindeutige Beziehung zwischen zwei anderen Zahlen herstellt: die zwei anderen Zahlen sind die Basis b und der Numerus N. Der Logarithmus von N zur Basis b ist dann diejenige Zahl, mit der man die Basis b hochrechnen (potenzieren) muss, um als Ergebnis den Numerus N zu erhalten. Man erhält den Logarithmus über die Frage: Basis b hoch was gibt den Numerus N?
Beispiele
Man hat die Basis 2 und den Numerus 8. Die Frage ist dann: 2 hoch was ergibt 8? Die Antwort ist hier die Zahl 3. Also ist die 3 der Logarithmus von 8 zur Basis 2. Man schreibt in Kurzform: log₂8=3
Schreibweise
- logₐb
- Der Logarithmus von b zur Basis a
- Das b ist der sogenannte Numerus ↗
- Das a ist die sogenannte Basis eines Logarithmus ↗
Bedeutung
- Der Logarithmus ist die Antwort auf die Frage:
- Basis hoch was gibt Potenzwert.
- Beispiel: log₂32
- Frage: 2 hoch was gibt 32?
- Antwort: 2 hoch 5 gibt 32.
- Also: log₂8 = 5
Definition
- Die gesuchte Hochzahl heißt auch Exponent.
- Der gesuchte Exponent ist der Logarithmus.
Sprechweisen
- Die folgenden zwei Sätze meinen immer dasselbe:
- a) Der Logarithmus von 8 zur Basis 2 ist 3.
- b) 2 hoch 3 gibt 8.
Beispiel 10²=100
- In Logarithmusschreibweise: log₁₀100=2
- Frage: 10 hoch was gibt 100?
- Die 10 heißt Basis in der Potenzschreibweise.
- Die 10 heißt Basis in der Logarithmusschreibweise.
- Die 2 heißt Exponent in der Potenzschreibweise.
- Die 2 heißt Logarithmus in der Logarithmusschreibweise
- Die 100 heißt Potenzwert in der Potenzschreibweise.
- Die 100 heißt Numerus in der Logarithmuschreibweise.
Für welchen Zahlen gibt es den Logarithmus?
- Mit anderen Worten: was ist der Definitionsbereich?
- Der Logarithmus ist nur für echt positive Basen definiert.
- Echt positiv meint, dass die Basen größer als 0 sein müssen.
- Der Logarithmus ist nicht für die Basis 1 definiert.
- Der Numerus muss auch eine echt positive Zahl sein.
- Der Numerus darf auch 1 sein, der Logarithmus ist dann immer 0.
- Der Logarithmus selbst kann alle Werte annehmen, auch negative und 0.
Was ist der Nutzen des Logarithmus?
- Mit Logarithmen kann man Gleichungen lösen, bei denen das x ein Exponent ist.
- Eine Gleichung wie 10 hoch x = 200 schreibt man dazu erst in die Logarithmusschreibweise um.
- Logarithmus von 200 zur Basis 10 = x.
- Nun kann man mit einem Taschenrechner den Logarithmus bestimmen.
- Dieser Logarithmus ist dann auch die gesuchte Hochzahl.
- Mehr unter Exponentialgleichungen über Logarithmieren ↗