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Nullstellen von reinquadratischen Funktionen bestimmen

Übersicht

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Basiswissen


f(x) = ax² + c ist der Bauplan einer reinquadratischen Funktion. Es gibt immer ein Glied mit x². Es darf noch ein Glied ohne x geben, das sogenannte absolute Glied. Was nicht vorkommen darf sind sogenannte lineare Glieder, also ein Glied mit x ohne hoch zwei. Solche Gleichungen lassen sich immer leicht über Umformen lösen. Da ist hier erklärt.



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Created: May 15th 2017☛


Bauplan


  • f(x) = ax² + c

Legende


f(x) = Funktionswert, wird oft auch y genannt.
x² = meint x mal x, ausgesprochen x-quadrat.
a = eine beliebige (außer Null) konstante Zahl, die aber fest vorgegeben ist
c = eine beliebige (Null erlaubt) konstante Zahl, die aber fest vorgegeben ist

c interpretieren


  • Wenn das absolute Glied c gleich 0 ist, dann ist x=0 die einzige NS.
  • Wenn das absolute Glied c addiert wird, dann gibt es gar keine NS.
  • Wenn das absolute Glied c abgezogen wird, dann gibt es zwei NS.
  • Im letzten Fall muss man sie dann mit einem der Verfahren unten bestimmen.

pq-Formel


  • Die pq-Formel funktioniert für reinquadratische Funktionen immer.
  • Immer erst f(x) gleich Null setzen.
  • Wenn a ungleich 1 ist, erst beide Seiten durch a teilen.
  • Wenn a gleich 1 ist (also nur x² dasteht), direkt weitgergehen.
  • Jetzt steht links vom Gleichheitszeichen die Zahl 0.
  • Rechts vom Gleichheitszeichen steht x² + c/a
  • p ist bei reinquadratischen Funktionen immer 0!
  • q ist bei reinquadratischen Funktionen immer das c/a.
  • Damit die pq-Formel rechnen, gibt immer die NS.

Symmetrie


  • Der Graph reinquadratischer Funktionen ist immer achsensymmetrisch zur y-Achse.
  • Wenn es also zwei Nullstellen gibt, sind sie immer Gegenzahlen zueinander.
  • Beispiel: wenn 4 eine NS ist, dann ist automatisch auch -4 eine NS.

Umformen


  • Geht bei reinquadratischen Funktionen immer.
  • Immer erst f(x) gleich Null setzen.
  • Links vom Gleichheitszeichen steht dann 0.
  • Jetzt nach x umstellen:
  • Wenn am Ende "-c" steht, schreibe es als +(-c).
  • Jetzt auf beiden Seiten c abziehen.
  • Dann beide Seiten durch a teilen.
  • Dann von beiden Seiten die Wurzel ziehen.
  • Zwei Lösungen hinschreiben:
  • Einmal die ausgerechnete Wurzel ...
  • und einmal die ausgerechnete Wurzel mit einem Minus davor.

Faktorisieren


  • Geht nur, wenn absolutes Glied negativ ist.
  • Immer erst f(x) gleich Null setzen.
  • Beispiel: 0=ax²-c ⭢ geht
  • Beispiel: 0=ax²+c ⭢ geht nicht
  • Falls a ungleich 1 ist, erst beide Seiten durch a teilen.
  • Dann faktorisieren über dritte binomische Formel rückwärts.
  • Gibt: 0 = (x+c/a)(x-c/a)
  • NS bei -c/a und bei +c/a

ABC-Formel


  • Geht immer, ist aber bei reinquadr. Funktionen unnötig aufwändig
  • Das A aus der Formel wäre das a aus der Funktionsgleichung oben.
  • Das B aus der Formel wäre immer die Null (da kein Term mit x).
  • Das C aus der Formel wäre immer das c aus der Funktionsgleichung.
  • Damit jetzt die ABC-Formel rechnen

Tipps


  • 1/2 mal 1/2 gibt ein 1/4.
  • 1/3 mal 1/3 gibt ein 1/9.
  • 0.25 ist wie ein 1/4.

Aufgaben dazu


Zu diese Aufgabentyp gibt es Übungen mit Lösungen als Quickchecks. Direkt zu den Aufgaben geht es über => qck