Basiswissen

Was meint faktorisieren?

• Ein Faktor ist ein Teil einer Malkette.
  

• Faktorisieren heißt, dass man einen Term in eine Malkette umwandelt.
  

• Der erste Schritt bei diesem Verfahren ist oft das Ausklammern.
  

• Manchmal muss man auch die 3. binomische Formel verwenden.
  

• Aus Malketten kann man leicht die Nullstellen ablesen.
  

• Mehr unter Satz vom Nullprodukt ↗
  

Wann ist die Methode erfolgreich?

• Das geht oft gut mit kubischen Funktionen ohne absolutes Glied.
  

• Was das meint steht unter Absolutes Glied einer kubischen Funktion ↗
  

• Das absolute Glied ist der Teil im Funktionsterm "ohne x":
  

• Beispiel a: f(x)=x³+4x²+x ⭢ faktorisierbar
  

• Beispiel b: f(x)=4x³-x ⭢ faktorisierbar
  

• Beispiel c: f(x)=4x³-9 ⭢ nicht faktorisierbar
  

• Beispiel d: f(x)=x³+x²+1 ⭢ nicht faktorisierbar
  

1. Schritt

• Ausklammern:
  

• Gegeben ist zum Beispiel: f(x) = x³-5x²+6x
  

• Man klammert das x einmal aus, das gibt:
  

• f(x) = x·[x²-5x+6]
  

2. Schritt

• Erste Lösung hinschreiben.
  

• Nach dem Ausklammern steht immer ein x vor der Klammer.
  

• Das ist die erste von insgesamt drei möglichen Nullstellen.
  

• Man schreibt: x = 0
  

3. Schritt

• In der Klammer steht nach dem Ausklammern immer eine quadratische Funktion.
  

• Im Beispiel oben wäre ihr Funktionsterm: x²-5x+6
  

• Von dieser sucht man dann alle möglichen Nullstellen.
  

• Eine Möglichkeit Nullstellen über pq-Formel ↗
  

• Andere Möglichkeit Nullstellen über ABC-Formel ↗
  

• Für das Beispiel ergeben sich: x=3 und x=2
  

• Das sind die zwei weiteren Nullstellen.
  

• Man schreibt: x=3 oder x=2.
  

4. Schritt

• Alles Lösungen gemeinsam aufschreiben:
  

• f(x) hat drei Nullstellen:
  

• x=0, x=2 und x=3 ✔
  

Binomische Formel

• Ein Term der Form a²-b² kann direkt faktorisiert werden.
  

• Es gilt: a²-b² = (a+b)·(a-b)
  

• Beispiel: 16-x² wird zu (4+x)·(4-x)
  

• Mehr dazu unter Dritte binomische Formel rückwärts ↗
  

Aufgaben dazu