Nullstellen über Substitution

0 = 2x⁴-16x²+30

Basiswissen

Wie muss die Gleichung aussehen?

• Im Funktionsterm kommen nur gerade Exponenten von x.
  

• Gerade Exponenten wären: 0; 2; 4; 6 und so weiter.
  

• Als Faktor dürfen vor dem x auch noch Zahlen stehen.
  

• Weil x⁰ immer eins gibt, wäre 8x⁰ dasselbe wie 8.
  

• Es dürfen also immer auch reine Zahlen vorkommen.
  

Bei welchen Gleichungen funktioniert die Methode?

• f(x) = 2x⁴ - 3x² + 4
  

• f(x) = -0,5x⁴ + x²
  

• f(x) = x⁴
  

Bei welchen Gleichungen funktioniert die Methode nicht?

• f(x) = 2x⁴ + x³
  

• f(x) = x⁴ + x
  

• f(x) = 2x⁴ - 3x² + 2x
  

Wie sieht ein Rechenbeispiel aus?

• f(x) = 2x⁴ - 16x² + 30
  

• Von dieser Funktion sind die Nullstellen gesucht.
  

• Man setzt also f(x) = 0 und erhält die Gleichung:
  

• Biquadratische Gleichung: 0 = 2x⁴ - 16x² + 30
  

• Diese Gleichung wird jetzt über Substitution gelöst.
  

1. Schritt: Substitution

• Man schreibt die Substitution auf: x²=z.
  

• Weil x⁴ = x²·x² = (x²)² = z² ist, schreibt man auch: x⁴ = z².
  

• Man scheibt die Gleichung mit z statt mit x neu hin:
  

• Quadratische Gleichung mit z: 0 = 2z² - 16z + 30
  

• Quadratische Gleichungen kann man immer ...
  

• über die pq-Formel lösen. ✔
  

2. Schritt: pq-Formel vorbereiten

• Man hat jetzt eine quadratische Gleichung mit z.
  

• Für die pq-Formel muss man sie immer erst in die Normalform bringen.
  

• Das heißt vor allem: vor dem z² darf kein Faktor stehen.
  

• Hier steht noch die 2 vor dem z², also erst durch 2 teilen:
  

• 0 = 2z² - 16z + 30 | :2
  

• 0 = z² - 8z + 15 ✔
  

3. Schritt: pq-Formel

• Die pq-Formel lautet: x = -p/2 ± Wurzel aus [(p/2)²-q]
  

• In der Gleichung 0 = z² - 8z + 15 sind: p=-8 und q=+30
  

• Einsetzen und lösen liefert 2 Lösungen: z = 3 und z = 5 ✔
  

4. Schritt: Rücksubstitution

• Man hat jetzt erst die Lösung für z.
  

• Man sucht sie aber für x.
  

• Die Substitution war: x²=z
  

• Jetzt setzt man für z die gefundenen Lösungen ein:
  

• x²=3 und x²=5. Das sind zwei Gleichungen, die man löst:
  

• Das führt zu den folgenden vier Zeilen:
  

• x₁ = +(Wurzel aus z₁), wäre oben etwa +1,73 ✔
  

• x₂ = -(Wurzel aus z₁), wäre oben etwa -1,73 ✔
  

• x₃ = +(Wurzel aus z₂), wäre oben etwa +2,24 ✔
  

• x₄ = -(Wurzel aus z₂), wäre oben etwa -2,24 ✔
  

Tipps

• Es kann sein, dass es keine, eine, zwei, drei oder vier Nullstellen gibt.
  

• Aus einem negativen z können nie Nullstellen mit x werden.
  

• x⁶ und x³ kann man auch als z² bzw. z substituieren.
  

Aufgaben