Zwei-Punkte-Form in Parameterform

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Grundidee

Gegeben und gesucht

• Gegeben: y = (Y2-Y1)/(X2-X1)·(x-X1)+Y1 Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung ↗
  

• Gesucht: x = p+ru Parameterform der Geradengleichung^{[2D und 3D] ↗}
  

Legende

• y oder auch f(x) ist der Funktionswert ↗
  

• x ist bei der Zwei-Punkte-Form die unabhängige Variable ↗
  

• x ist bei der Parameterform ein Ortsvektor ↗
  

• X1 ist der x-Wert von einem festen Punkt
  

• X2 ist der x-Wert von einem festen Punkt
  

• Y1 ist der y-Wert von einem festen Punkt
  

• Y2 ist der y-Wert von einem festen Punkt
  

• p ist bei 3D-Geraden der Stützvektor ↗
  

• r ist bei 3D-Geraden der Laufparameter ↗
  

• u ist bei 3D-Geraden der Richtungsvektor ↗
  

Lösungsidee Schritt-für-Schritt

• Gegeben ist die Zwei-Punkte-Form: y = (Y2-Y1)/(X2-X1)·(x-X1)+Y1
  

• Die Zahlen X1 und Y1 gehören zu einem Punkt auf der Geraden.
  

• Der Stützvektor p hin zu diesem Punkt ist dann (X1 Y1).
  

• Man kann die gegebenen Zahlen hier einfach übernehmen.
  

• Dann berechnet man die Steigung der Geraden.
  

• Die Grundidee dazu ist das Steigungsdreieck aus zwei Punkten (externer Link)
  

• Die Steigung ist dann m = (Y2-Y1)/(X2-X1).
  

• Dafür rechnet man einen Zahlenwert aus.
  

• Dann ist der Richtungsvektor u immer (1 m)
  

• Für m setzt man die Zahl der berechnet Steigung ein.
  

• Am Ende setzt man p und u ein in den Bauplan der Parameterform:
  

• Das kleine x und das r lässt man als Buchstaben stehen.
  

• x = p + r·u
  

Zahlenbeispiel

• Gegeben in Zwei-Punkte-Form ist: y = (42-2)/(10-0)·(x-0)+2
  

• Der Bauplan ist: y = (Y2-Y1)/(X2-X1)·(x-X1)+Y1
  

• X1=0 und Y1=2 kann man direkt ablesen.
  

• Das gibt den Stützvektor p = (0 2)
  

• Dann die Steigung m = (42-2)/(10-0) = 4
  

• Das gibt den den Richtungsvektor r = (1 4)
  

• Einsetzen in den Bauplan:
  

• x = (0 2) + r·(1 4) ✔