Parameterform in Zwei-Punkte-Form

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Grundidee

Gegeben und gesucht

• Gegeben: x = p+ru Parameterform der Geradengleichung^{[2D und 3D] ↗}
  

• Gesucht: y = (Y2-Y1)/(X2-X1)·(x-X1)+Y1 Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung ↗
  

Legende

• y oder auch f(x) ist der Funktionswert ↗
  

• x ist bei 2D-Geraden die unabhängige Variable ↗
  

• x ist bei 3D-Geraden ein Ortsvektor ↗
  

• X1 ist der x-Wert von einem festen Punkt
  

• X2 ist der x-Wert von einem festen Punkt
  

• Y1 ist der y-Wert von einem festen Punkt
  

• Y2 ist der y-Wert von einem festen Punkt
  

• p ist bei der Parameterform der Stützvektor ↗
  

• r ist bei der Parameterform der Laufparameter ↗
  

• u ist bei der Parameterform der Richtungsvektor ↗
  

Die Lösungsidee Schritt-für-Schritt

• Der Stützvektor p der Parameterform kann als Punkt auf der Geraden gedeutet werden.
  

• Wenn die Vektorkoordinaten (xs ys) sind, dann sind die Punktkoordinaten (xs|ys).
  

• Das sind dann auch die Koordinaten von (X1|Y1) und man hat: X1 = xs und Y1 = ys
  

• Nun benötigt man noch einen zweiten Punkt auf der Geraden.
  

• Dafür kann man für den Laufparameter eine beliebige Zahl einsetzen.
  

• Immer einsetzen kann man zum Beispiel die Zahl 10.
  

• Damit erhält man einen weiteren Punkt auf der Geraden.
  

• Dieser gibt die Koordinaten X2 und Y2.
  

• Das kleine x in der Zwei-Punkte-Form bleibt als Buchstabe stehen.
  

• Man setzt dann die gefunden Zahlen ein in: y = (Y2-Y1)/(X2-X1)·(x-X1)+Y1
  

Zahlenbeispiel

• Gegeben ist x = (0 2) + r·(1 4)
  

• Das p ist (0 2) und das u ist (1 4).
  

• p gibt den Punkt (0|2).
  

• Für r die 10 einsetzen gibt den Punkt (10|42).
  

• Beides einsetzen in y = (Y2-Y1)/(X2-X1)·(x-X1)+Y1 gibt:
  

• y = (42-2)/(10-0)·(x-0)+2 ✔
  

• Vereinfachen gibt:
  

• y = 4x+2