Punktsteigungsform in Parameterform
Umwandeln
Grundidee
Gegeben ist eine Geradengleichung in der sogenannten Punktsteigungsform m(x-X1)+Y1. Gesucht ist eine Gleichung für dieselbe Gerade in der Parameterform x = p+r·u mit Vektoren. Die Lösungsidee zur Umwandlung ist es, aus der Punktsteigungsform eine Punkt für den Stützvektor p abzulesen und den Richtungsvektor u als Steigungsinformation zu deuten.
Gegeben und gesucht
- Gegeben: y = m(x-X1)+Y1 Punktsteigungsform der Geradengleichung [Definition] ↗
- Gesucht: x = p+ru Parameterform der Geradengleichung[2D und 3D] ↗
Legende
- y oder auch f(x) ist der Funktionswert ↗
- x ist bei Geraden ohne Vektoren die unabhängige Variable ↗
- x ist bei der Parameterform Ortsvektor ↗
- X1 ist der x-Wert von einem festen Punkt
- X2 ist der x-Wert von einem festen Punkt
- p ist bei 3D-Geraden der Stützvektor ↗
- r ist bei 3D-Geraden der Laufparameter ↗
- u ist bei 3D-Geraden der Richtungsvektor ↗
Lösungsidee Schritt-für-Schritt
- Gegeben hat man die Punktsteigungsform: y = m(x-X1)+Y1
- Wenn in der Klammer ein Minuszeichen steht gilt:
- X1 und Y1 kann man sofort als Punkt auf der Geraden deuten.
- Wenn in der Klammer ein Pluszeichen steht gilt:
- X1 negativ genommen und Y1 sind ein Punkt auf der Geraden.
- Beispiel: (x-99) gäbe X1=99. Und (x+25) gäbe X1=-25.
- Dann deutet man die Zahl m als Steigung.
- Ein gültiger Richtungsvektor u ist dann immer (1 m).
- Das einsetzen in die Parameterform: x = p + r·u
Zahlenbeispiel
- Gegeben ist die Punktsteigungsform y = 4(x-0)+2
- Ein Punkt ist sofort erkennbar: (0|2).
- Das gibt den Stützvektor p als (0 2).
- Dann den Richtungsvektor u bestimmen:
- u = (1 4)
- Das x und r in der Parameterform lässt man als Buchstaben stehen.
- Alles einsetzen x = p + r·u gibt gibt:
- x = (0 2) + r·(1 4) ✔