Geradensteigung
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Basiswissen ·
Definition ·
Zahlenbeispiel ·
Was meint Gerade hier? ·
Was sind Beispiele? ·
Was meint eine negative Steigung? ·
Welche Steigung hätte eine senkrechte Gerade? ·
Was meint die Steigung als Zahl genau? ·
Wie bestimmt man die Geradensteigung? ·
Bestimmungsverfahren im Überblick ·
Welche Sonderfälle gibt es?
Basiswissen
Zahl für die Steilheit: die Geradensteigung, oft als m abgekürzt, ist dasselbe wie die Steigung einer linearen Funktion. Es wird erklärt, was genau das bedeutet und wie man die Geradensteigung bestimmen kann (es gibt verschiedene Methoden).
Definition
Die einfachste Definition der Geradensteigung benötigt nur zwei beliebige verschiedene Punkte auf einer Geraden. Die Geradensteigung ist dann der Unterschied der y-Werte dieser Punkte geteilt durch den Unterschied der x-Werte der Punkte. Geht die Gerade von links nach rechts bergab, muss die Steigungszahl negativ sein, geht sie bergauf, ist sie positiv. Verläuft die Gerade waagrecht, ist die Steigung gleich 0.
Zahlenbeispiel
Beispiel: Auf einer Geraden liegen z. B. die Punkte (2|3) und (7|13). Der y-Unterschied ist 13-3, also 10. Der x-Unterschied ist 7-2, also 5. y-Unterschied durch x-Unterschied gibt die Zahl 2. Das ist die Steigung dieser Geraden.
Was meint Gerade hier?
- Eine gerade Linie in einem normalen Koordinatensystem.
- Ist oft der Graph einer linearen Funktion wie f(x)=2x-1.
- Ist manchmal die Lösungsmenge einer Gleichung wie y=2x-1.
- Die Steigung als Zahl ist immer die Zahl direkt am x.
- Die Steigung von f(x)=2x-1 wäre also 2.
Was sind Beispiele?
- Steigung meint wie steil eine Gerade ist.
- Die Steigung 0 ist eine waagrechte Gerade.
- Die Steigung 0,1 wäre eine sehr flache Gerade.
- Die Steigung 1 wäre so steil wie eine Skischanze.
- Die Steigung 20 wäre für das Auge fast schon senkrecht.
Was meint eine negative Steigung?
- Die Funktion f(x)=-3x+4 hat eine negative Steigung.
- Gehe gedanklich von links nach rechts die Gerade entlang.
- (Bei positiven Steigung geht man dann bergauf.)
- Bei negativen Steigungen geht man dann bergab.
Welche Steigung hätte eine senkrechte Gerade?
- Eigentlich wäre die Steigung dann unendlich groß.
- Das kann man aber nicht als Steigungszahl schreiben.
- Eine senkrechte Gerade wäre auch keine lineare Funktion.
Was meint die Steigung als Zahl genau?
- Denke dir irgendeine Gerade aus.
- Markiere zwei verschiedene Punkte auf ihr.
- Die zwei Punkte haben x- und y-Werte.
- Den Unterschied der x-Werte nennen wir x-Unterschied.
- Den Unterschied der y-Werte nennen wir y-Unterschied.
- x-Unterschied mal Steigung gibt immer den y-Unterschied.
- Die Steigung ist das Verhältnis von y- zu x-Unterschied.
- y-Unterschied geteilt durch y-Unterschied = Steigung.
Wie bestimmt man die Geradensteigung?
- Das hängt davon ab, was man gegeben hat.
- Es gibt entsprechend unterschiedliche Verfahren.
- Mehr unter Geradensteigung bestimmen ↗
Bestimmungsverfahren im Überblick
Welche Sonderfälle gibt es?
- Zwei Punkte auf einer beliebigen Kurve, etwa einer Parabel, ergeben die Sekantensteigung ↗
- Als Vorbereitung einer Ableitung f'(x) bildet man den sogenannten Differenzenquotient ↗
- Bei Sachaufgaben mit Zeiten handelt es sich oft um eine mittlere Änderungsrate ↗
- Bei nicht linearen Prozessen berechnet man oft die durchschnittliche Steigung ↗