Mittlere Änderungsrate
Definition
Basiswissen
Die durchschnittliche oder mittlere Änderungsrate gibt an, wie stark sich etwas in einer Sekunde ändern, wenn die Geschwindigkeit der Änderung immer gleich groß wäre. Am Graphen entspricht die mittlere Änderungsrate immer auch der Sekantensteigung. Das ist hier näher erklärt.
Berechnung der mittleren Änderungsrate
- Gegeben ist immer eine Funktionsgleichung f(x).
- Gegeben sind zwei x-Werte: ein kleiner links und ein großer rechts.
- Zu jedem x-Wert muss noch ein y-Wert gehören.
- Setzt man einen x-Wert in f(x) ein, so erhält man den dazugehörigen y-Wert.
- Das f(x) gibt immer den y-Wert, der zu einem x-Wert gehört.
- Man rechnet jetzt: y-Wert rechts minus y-Wert links ...
- und teilt das durch x-Wert rechts minus x-Wert links.
- Das Ergebnis heißt auch Differenzenquotient ↗
Beispiel für die mittlere Änderungsrate
- Gegeben ist der Graph der Funktion f(x) = 5·x²
- Der Sachzusammenhang dafür ist der sogenannte freier Fall ↗
- x steht für die Dauer eines Fallvorganges in Sekunden.
- Der Gegenstand muss dabei aus der Ruhelage fallen gelassen worden sein.
- f(x) steht dann für die im Fall insgesamt seit dem Beginn zurückgelegte Strecke in Metern.
- Gesucht ist die mittlere Änderungsrate von der 3ten bis zu 5ten Sekunden.
- Man rechnet dazu immer: y-Unterschied geteilt durch x-Unterschied, also:
- f(5)-f(3) geteilt durch (5-3)
- Das Ergebnis ist 37,5 m/s.
Hintergrund: was meint Änderungsrate?
- Das Wort gehört zum Thema Analysis.
- Das Wort bezieht sich auf die Steigung von Funktionsgraphen.
- Das Wort Änderung meint dabei die Änderung des y-Wertes.
- Die mittlere Änderungsrate ist eine Zahl und sagt Folgendes:
- Wenn man zwei verschiedene Punkte auf einem Graphen hat, dann ...
- sagt die mittlere Änderungsrate, wie viel mal so stark sich ...
- der y-Wert zwischen den zwei Punkten ändert, wie der der x-Wert.
Beispiele
- Man hat als Graph die Normalparabel der Funktion f(x)=x².
- Als Punkte nimmt man P(2|4) und Q(5|25).
- Die Änderung der y-Werte zwischen P und Q ist 21.
- Die Änderung der x-Werte zwischen P und Q ist 3.
- Die y-Werte ändern sich also 3-mal so stark wie die x-Werte.
- Also ist die mittlere Änderungsrate genau die Zahl 3.
Was ist eine Rate?
Wachstumsrate, Sinkrate oder Sterberate: das Wort Rate bedeutet in den Naturwissenschaften, der Technik und der Mathematik so gut wie immer eine Änderung pro Zeiteinheit. Lies mehr unter Rate ↗