Normalform in Zwei-Punkte-Form

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Grundidee

Gegeben und gesucht

• Gegeben: y = mx+b Normalform der Geradengleichung ↗
  

• Gesucht: y = (Y2-Y1)/(X2-X1)·(x-X1)+Y1 Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung ↗
  

Legende

• y oder auch f(x) ist der Funktionswert ↗
  

• m ist die Geradensteigung ↗
  

• b ist der Achsenabschnitt ↗
  

• x ist bei 2D-Geraden die unabhängige Variable ↗
  

• X1 ist der x-Wert von einem ersten festen Punkt
  

• X2 ist der x-Wert von einem ersten festen Punkt
  

• Y1 ist der y-Wert von einem zweiten festen Punkt
  

• Y2 ist der y-Wert von einem zweiten festen Punkt
  

Die Lösungsidee Schritt-für-Schritt

• Für die Zwei-Punkte-Form benötigt man einen Punkt (X1|Y1) und (X2|Y2).
  

• Der y-Achsenabschnitt der Normalenform liefert dabei den ersten Punkt.
  

• Der y-Achsenabschnitt hat immer die Koordinaten (0|b). Das ist dann auch (X1|Y1).
  

• Um an einen zweiten Punkt zu kommen, kann man für x eine beliebige Zahl einsetzen.
  

• Man kann zum Beispiel immer für x die 10 einsetzen. Damit ist auch: X2=10
  

• Dann rechnet man mit der Normalform den dazugehörigen y-Wert aus. Das gibt Y2.
  

• Damit hat man Zahlenwerte für alle nötigen Unbekannten der Zwei-Punkte-Form.
  

• Das kleine x in der Zwei-Punkte-Form bleibt als Variable x stehen.
  

Zahlenbeispiel

• Gegeben ist die Normalenform: y = 4x+2
  

• Der y-Achsenabschnitt 2 gibt sofort den Punkt (0|2) für (X1|Y1).
  

• Damit weiß man: X1 = 0 und Y1 = 2
  

• Jetzt für x in der Normalform die 10 einsetzen (geht immer):
  

• X2 = 10 und ausrechnen über y = 4x+2 gibt: Y2 = 42
  

• Damit weiß man: X2 = 10 und Y2 = 42.
  

• Einsetzen in Zwei-Punkte-Form y = (Y2-Y1)/(X2-X1)·(x-X1)+Y1 gibt:
  

• y = (42-2)/(10-0)·(x-0)+2 ✔
  

Tipp