Parameterform in Punktsteigungsform
Umwandeln
Grundidee
Gegeben ist eine Geradengleichung in der sogenannten Parameterform x = p+r·u. Gesucht ist eine Gleichung für dieselbe Gerade in der Punktsteigungsform m·(x-X1)+Y2. Die Lösungsidee zur Umwandlung den Stützvektor der Parameterform als gesuchten Punkt (X1|Y1) zu deuten und aus dem Richtungsvektor u die Steigung abzulesen. Das ist hier Schritt-für-Schritt erklärt.
Gegeben und gesucht
- Gegeben: x = p+ru Parameterform der Geradengleichung[2D und 3D] ↗
- Gesucht: y = m(x-X1)+Y1 Punktsteigungsform der Geradengleichung [Definition] ↗
Legende
- y oder auch f(x) ist der Funktionswert ↗
- m ist die Geradensteigung ↗
- X1 ist der x-Wert von einem festen Punkt der Geraden
- Y1 ist der y-Wert von einem festen Punkt der Geraden
- x ist bei Punkststeigungsform die unabhängige Variable ↗
- x ist bei der Parameterform der Ortsvektor ↗
- p ist bei 3D-Geraden der Stützvektor ↗
- r ist bei 3D-Geraden der Laufparameter ↗
- u ist bei 3D-Geraden der Richtungsvektor ↗
Die Lösungsidee Schritt-für-Schritt
- Gegeben ist eine Gerade in Parameterform x = p+ru
- Das x und das kleine r muss man für die Umwandlung nicht benutzen.
- Das kleine p steht für einen Stützvektor.
- Ein Stützvektor geht immer vom Koordinatenursprung (0|0) zu einem Punkt auf der Geraden.
- Wenn der Stützvektor (xs ys) als Vektorkoordinaten hat, dann ist (xs|ys) ein Punkt auf der Geraden.
- Das ist dann auch der Punkt (X1|Y1) für die Punktsteigungsform.
- Der Richtungsvektor u gibt indirekt die Steigung.
- Wenn der Richtungsvektor die Vektorkoordinaten (xr yr) hat, ...
- Dann ist die Steigung als Zahl berechnet: yr geteilt durch xr.
- Diese Zahl gibt das gesucht m der Punktsteigungsform.
- Das kleine x in der Punktsteigungsform lässt man als Buchstaben stehen.
- Das einsetzen in die Punktsteigungsform: y = m(x-X1)+Y1
Zahlenbeispiel
- Gegeben ist die Parameterform x = (0 2) + r·(1 4)
- p ist also (0 2) und u ist (1 4).
- p gibt den Punkt (0|2), also: X1 = 0 und Y1 = 2
- r gibt die Steigung 4 geteilt durch 1, also m = 4.
- Das einsetzen in die Punktsteigungsform y = m(x-X1)+Y1 gibt:
- y = 4·(x-0)+2 ✔