Parameterform in Punktsteigungsform

Umwandeln

Grundidee

Gegeben und gesucht

• Gegeben: x = p+ru Parameterform der Geradengleichung^{[2D und 3D] ↗}
  

• Gesucht: y = m(x-X1)+Y1 Punktsteigungsform der Geradengleichung [Definition] ↗
  

Legende

• y oder auch f(x) ist der Funktionswert ↗
  

• m ist die Geradensteigung ↗
  

• X1 ist der x-Wert von einem festen Punkt der Geraden
  

• Y1 ist der y-Wert von einem festen Punkt der Geraden
  

• x ist bei Punkststeigungsform die unabhängige Variable ↗
  

• x ist bei der Parameterform der Ortsvektor ↗
  

• p ist bei 3D-Geraden der Stützvektor ↗
  

• r ist bei 3D-Geraden der Laufparameter ↗
  

• u ist bei 3D-Geraden der Richtungsvektor ↗
  

Die Lösungsidee Schritt-für-Schritt

• Gegeben ist eine Gerade in Parameterform x = p+ru
  

• Das x und das kleine r muss man für die Umwandlung nicht benutzen.
  

• Das kleine p steht für einen Stützvektor.
  

• Ein Stützvektor geht immer vom Koordinatenursprung (0|0) zu einem Punkt auf der Geraden.
  

• Wenn der Stützvektor (xs ys) als Vektorkoordinaten hat, dann ist (xs|ys) ein Punkt auf der Geraden.
  

• Das ist dann auch der Punkt (X1|Y1) für die Punktsteigungsform.
  

• Der Richtungsvektor u gibt indirekt die Steigung.
  

• Wenn der Richtungsvektor die Vektorkoordinaten (xr yr) hat, ...
  

• Dann ist die Steigung als Zahl berechnet: yr geteilt durch xr.
  

• Diese Zahl gibt das gesucht m der Punktsteigungsform.
  

• Das kleine x in der Punktsteigungsform lässt man als Buchstaben stehen.
  

• Das einsetzen in die Punktsteigungsform: y = m(x-X1)+Y1
  

Zahlenbeispiel

• Gegeben ist die Parameterform x = (0 2) + r·(1 4)
  

• p ist also (0 2) und u ist (1 4).
  

• p gibt den Punkt (0|2), also: X1 = 0 und Y1 = 2
  

• r gibt die Steigung 4 geteilt durch 1, also m = 4.
  

• Das einsetzen in die Punktsteigungsform y = m(x-X1)+Y1 gibt:
  

• y = 4·(x-0)+2 ✔