Federpendel
Physik
Definition
Als Federpendel bezeichnet man eine Schraubenfeder mit einem daran befestigten Massestück. Das Massestück bewegt sich dabei in die Richtung, in die sich die Feder verkürzen und verlängern kann. Das Gewichtsstück schwingt dabei stets nur entlang einer geraden Linie von oben nach unten. Man spricht auch von einer eindimensionalen Bewegung[6].
Die größere Bedeutung des Federpendels in der Physik
Schwingungen spielen in der Physik in ganz unerwarteten Bereichen eine fundamentale Rolle, etwa in der gesamten Wellenoptik und der Elektrotechnik. Federpendel werden dabei gerne als (vergleichsweises) leichtes Beispiel für sogenannte mechanische Schwingungen[4] betrachtet. Und sich ausbreitende mechanische Schwingungen wiederum führen zur Idee einer Welle. Die Gesetze rund um ein Federpendel können später mit großem Nutzen verallgemeinert werden[5]. Insbesondere dient das Federpendel auch als leicht zu verstehender Sonderfall für eine harmonische Schwingung ↗
Das Federpendel in senkrechter Ausführung
Ein Federpendel wird oft in senkrechter, das heißt vertikaler Anordnung mit der Längsachse von oben nach unten dargestellt[1][2]. In dieser Anordnung wirken auf das Gewicht drei Kräfte: a) die elastischen Kräfte der Schraubenfeder, b) die Schwerkraft der Erde, und c) die Trägheitskraft der Masse selbst. Der Einfluss der Schwerkraft wird meist aber vernachlässigt. Die Schwerkraft beeinflusst den Ort der Ruhelage, nicht aber die Frequenz der Schwingung[7] oder das Schwingungsverhalten an sich.
Das Federpendel in waagrechter Ausführung
Manche Autoren beschränken das Federpendel auf den Fall, dass die Schraubenfeder horizontal (waagrecht) liegt[3]. Damit kann der Einfluss der Schwerkraft gänzlich vernachlässigt werden. Beide Fälle, die senkrecht wie auch die waagrechte Anordnung vollführen dabei eine harmonische Schwingung.
Allgemeine Gleichungen für ein Federpendel
Die Gleichungen hier gelten für ein senkrecht aufgehängtes Federpendel. Die unten angehängte Masse vollzieht also eine Bewegung von unten nach oben. Ein solches Pendel wird auch Feder-Schwere-Pendel bezeichnet. Es gilt:
Formeln
- ω = √(D/m)
- T = 2·pi·√(m/D)
Legende
- ω = kleines Omega, die Kreisfrequenz [gleich 2·π·t/T] ↗
- D = die sogenannte Federkonstante ↗
- / = ein Bruchstrich als Geteiltzeichen ↗
- m = zum Beispiel in Kilogramm, die Masse ↗
- T = zum Beipsiel in Sekunden, die Periodendauer ↗
- π = das altgriechische pi als Kreiszahl ↗
- √ = das Wurzelzeichen ↗
Das Federpendel und das Hookesche Gesetz
Das Hookesche Gesetz, benannt nach Robert Hooke (1635 bis 1702), einem Zeitgenossen von Isaac Newton, besagt, dass es für viele Materialien einen Bereich für eine Verformung (z. B. Dehnung oder Stauchung) gibt, bei dem das Maß der Verformung proportional zur einwirkenden Verformungskraft ist. Im Umkehrschluss gilt auch, dass diese Körper dann eine Gegenkraft gegen die Verformungskräfte entwickeln, die proportional zur Verformung ist.
- F = D·Δl
Die von außen einwirkende Kraft F unterscheidet sich immer um das gleiche konstante Vielfache D (die Federkontsante) von der momentanen Änderung Δl der Länge gegenüber der Länge der Ruhelage. Diese Kraft ist vom Betrag her auch immer so groß wie die von der Elastizität der Feder ausgehende Rückstellkraft. Die Proportionalität[11] wird durch die Federkonstante D ausgedrückt. Diese Konstante hängt vom Material und der Bauweise der Feder ab. Siehe auch Hookesches Gesetz ↗
Das Federpendel und die Energieerhaltung
Das Federpendel wird oft als Beispiel für die Herleitung einer Bewegungsgleichung mit Hilfe des Satzes von der Energieerhaltung verwendet[2, Seite 110 ff.]. Bei einem Federpendel kann man zwei Arten von Energie unterscheiden. Zum einen die kinetische Bewegungsenergie[8], die man über ½mv² berechnen kann. Zum anderen eine potentielle Energie, die im Fall des Federpendels die Spannergie der Schraubenfeder ist[9]. Vernachlässigt man alle andere Formen von Energie (etwa Reibungswärme oder Verformungsenergie durch Verschleiß), so ist die Summe aus der kinetischen Bewegungsenergie und der potentiellen Spannenergie immer konstant. Siehe auch Energieerhaltung ↗
Zur Berechnung der Spannarbeit
Ändert man die Länge einer Schraubenfeder gegenüber ihrer Ruhelänge, so benötigt man dazu Kraft. Da diese Kraft über eine gewisse Wegstrecke, nämlich die Längenänderung Delta l ausgeübt wird, kann man über die Formel Arbeit = Kraft mal Weg die verrichtete Arbeit berechnen. Die so verrichtete Arbeit ist dann in der Feder als Spannenergie enthalten.
- W = ½·D·Δl
Eine Spiralfeder habe eine Konstante D = 2 N/cm. Sie soll um die Strecke Δl = 10 cm gespannt werden. Man rechnet dann[12]: W = ½·2·(N/cm)·(10 cm)² = 100 Ncm. Die Spannarbeit W beträgt dann also W = 1 Nm. Die Formel
Versuchtman die Formel W = ½·D·s aus dem Grundprinzip W = F·s, also Arbeit gleich Kraft mal Strecke, herzuleiten, tritt ein Problem auf. Die Kraft F ändert sich sofort, wenn man die Feder um die Strecke Δl dehnt oder staucht. Man kann also nicht mit einem festen, konstanten Wert für die Kraft F rechnen, sondern diese hängt sich ständig ändernd von der momentanen Längenänderung Δl ab[14]. Wie man das Problem löst ist erklärt im Artikel Spannarbeit über Integralrechnung ↗
Das Federpendel und Differentialgleichungen
Das Federpendel wird oft als mechanisches Beispiel für einen sogenannten harmonischen Oszillator oder eine harmonische Schwingung genutzt. Harmonisch heißt dabei, dass die Auslenkung der Masse als Funktion der Zeit als allgemeine Sinusfunktion[10] dargestellt werden kann. Im Fall einer mechanischen Schwingung, wie bei einem idealen Fedependel, ist das immer der Fall, wenn die momentan wirkende Rückstellkraft proportional zur momentanten Auslenkung ist:
- ÿ(t) = -y(t)·D/m
Der Term ÿ(t) steht in der Physik für die zweite Ableitung der Auslenkung y nach der Zeit. Man könnte auch y''(t) schreiben. Die Schreibweise mit Punkten nennt man die Newton-Notation[15]. Nach dem zweiten Newtonschen Axiom F=m·a ist die Kraft, die auf eine Masse von außen einwirkt, gleich dem Produkt dieser Masse m und ihrer Beschleunigung a. Die Beschleunigung ist aber gleichzeitig auch die zweite Ableitung des Ortes y nach der Zeit. Die obige Gleichung sogenannte Differentialgleichung[16] gilt als Ausgangspunkt zur Herleitung weiterer Formeln für eine harmonische Schwingung ↗
Fußnoten
- [1] Oskar Höfling: Physik. Lehrbuch für Unterricht und Selbststudium. Fünfzehnte Auflage. 1994. ISBN: 3-427-41045-5. Dort wird auf Seite 194 eine Schraubenfeder als Federpendel beschrieben. Die Feder hängt senkrecht von oben herab, mit einem Gewicht unten befestigt. Auf Seite 196 wird weiter beschrieben, wie ein Federpendel, bestehend aus einer Schraubenfeder, bei dem die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung ist, zu einer sogenannten Harmonischen Schwingung führt.
- [2] Metzler Physik. 5. Auflage. 592 Seiten. Westermann Verlag. 2022. ISBN: 978-3-14-100100-6. Dort wird auf Seite 67 anhand einer Skizze eine senkrecht herabhängende Schraubenfeder mit einem unten nangehängten Gewicht als Federpendel bezeichnet. Auf Seite 110 wird genau diese Anordnung auch Schraubenfederpendel genannt. Anhand der Anordnung wird auf Seite 67 rechnerisch gezeigt, dass über eine Schwingung hinweg die Summe aus Bewegungs- und Höhenenergie konstant bleibt.
- [3] David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Halliday Physik. Bachelor Edition. John Wiley & Sons. Inc. 2001. Deutsche Erstauflage von 2007. ISBN 978-3-527-40746-0. Seite 130. Dort wird eine Schraubenfeder in einer waagrechten Anordnung auf einem Luftkissenbett gezeigt.
- [4] Mechanisch nennt man eine Schwingung, wenn das schwingende Element aus Masse besteht (und nicht etwa aus Feldern) und auf die Masse Kräfte wirken. Siehe auch mechanische Schwingung ↗
- [5] Dass man allgemeine Gesetze findet, die nicht nur für wenige Einzelfälle gelten, sondern für möglichst große Bereiche der Wirklichkeit ist das eigentliche Ziel der Physik. Siehe auch Verallgemeinerung ↗
- [6] Als eindimensional bezeichnet man in der Physik einen Zustand, wenn zu seiner eindeutigen Beschreibung eine einzige reelle Zahl genügt. Im Fall des Federpendels ist dieser Zustand die momentane Position oder die Auslenkung. Zur eindeutigen Angabe der momentanen Position genügt es, eine Zahl, etwa für eine Zentimeterskala, anzugeben. Siehe auch eindimensional ↗
- [7] Die Frequenz eines Federpendels hängt nicht von der Stärke einer wirkenden Schwerkraft ab: "the oscillation frequency, ωo = (Κ/m)1/2, will be the same as in the previous case where we neglected gravity and assumed that the one-dimensional displacements were maintained by some frictionless constraint." In: Garrett, S.L. (2020). The Simple Harmonic Oscillator. In: Understanding Acoustics. Graduate Texts in Physics. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-44787-8_2
- [8] Die Bewegungsenergie, auch kinetische Energie genannt, ist am größten, wenn die Masse durch ihren Ruhepunkt geht. Sie ist am kleinsten, nämlich vom Betrag her Null, wo das Pendel seine Richtung ändert. Siehe auch Bewegungsenergie ↗
- [9] Die Spannenergie ist die Energie, die in der elastischen Dehnung oder Stauchung der Schraubenfeder enthalten ist. Der Grund dafür ist die Elastistizität der Schraubenfeder: die Atome des Federmetalls versuchen bei einer Formveränderung der Feder wieder in ihre ursprüngliche Lage zueinander zurückzukehren. Dabei wirken letztendlich elektrostatische Kräfte zwischen den Atomen. Das bewirkt, dass bei jeder Formveränderung über das Gesetz Kraft mal Weg die in der Feder gespeicherte Energie berechnet werden kann. Siehe dazu auch Spannenergie ↗
- [10] Die allgemeine Sinusfunktion hat die Form f(x) = a·sin(bx+c). Im Fall des Federpendels stünde x für die Zeit und das y für die davon abhängige momentane Auslenkung. Siehe auch allgemeine Sinusfunktion ↗
- [11] Im Bezug auf eine Feder besagt Proportionalität, dass bei doppelter Dehnungskraft auch eine doppelte Länge der Dehnung erreicht wird. Oder: bei einer vierfachen Stauchungskraft (zusammendrücken) erfolgt auch eine viermal so große Stauchung der Feder. Allgemein: die Stärke der einwirkenden Kraft und die dadurch bewirkte Änderung der Länge verändern sich immer mit demselben Vielfachen. Siehe auch Proportionalität ↗
- [12] Die Verwendung der Formel W = ½·D·s ist erklärt unter Spannarbeit über Federkonstante ↗
- [13] Die Herleitung der Formel W = ½·D·s ist erklärt unter Spannarbeit über Integralrechnung ↗
- [14] Dieselbe Art von Problem tritt zum Beispiel auch auf, wenn man die Geschwindigkeitszunahme eines Kometen bei Annäherung an die Sonne berechnen will. Der Wunsch, solche Problem lösen zu können, führte im 17ten Jahrhundert zur Entwicklung der Integralrechnung ↗
- [15] Die Newton-Notation zur Bezeichnungen der Ordnung einer Ableitung ist vor allem in der Physik und ihr nahestehENDEn Gebieten der Mathematik, etwa dem Thema Differentialgleichung, sehr verbreitet. Siehe auch Newton-Notation ↗
- [16] Als Differentialgleichung bezeichnet man jede Gleichung, bei der Ableitungen einer gesuchten Funktion y=f(x) vorkommen. Siehe dazu den Artikel Differentialgleichung ↗
