Harmonische Schwingung
Sinusförmig
Definition
Eine harmonische Schwingung, auch Sinusschwingung genannt, ist jede Schwingung, bei der die momentane Auslenkung des schwingenden Elementes als sinus- oder cosinusförmige Funktion der Zeit modelliert werden kann[1]. Gleichbedeutend damit ist die Definition, dass eine Schwingung dann harmonisch heißt, wenn „die Rückstellkraft der Elongation proportional und stets zur Gleichgewichtslage gerichtet ist, für e also ein lineares Kraftgesetz gilt[2]“. Das ist hier näher erklärt.
Schwingungen und Oszillatoren
Jede Schwingung hat immer einen sogenannten Oszialltor. Der Oszillator ist das hin und her schwingende Teilchen oder abtrakt auch Element. Die Schwingung selbst ist eine sich ständig wiederholende Bewegung um einen sogenannten Ruhepunkt. Bei einem Fadenpendel etwa ist der Oszillator das Pendel und der Ruhepunkt ist das still ruhende Pendel ohne äußere Kräfte. Schwingt das Pendel, hat es zu jedem Zeitpunkt eine Auslenkung, das heißt Entfernung von der Ruhelage.
Harmonische Schwingung
Man kann eine Funktion aufstellen, die für jeden Zeitpunkt diese Auslenkung als Funktionswert liefert. Ist diese Funktion mathematisch eine Sinusfunktion nennt man die Schwingung sinusförmig oder harmonisch[1]. Bei einer mechanischen Schwingung ist das genau dann der Fall, wenn die Rückstellkraft zu jedem Zeitpunkt proportional zur Elongation (Auslenkung) ist und immer hin zur Ruhelage zeigt[2]. Nicht jede Schwingung ist harmonisch aber viele Schwingungen sind zumindest näherungsweise harmonisch.
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Das Weg-Zeit-Gesetz[2] der harmonischen Schwingung
Formel
- s = sₘₐₓ·sin(2·π·t/T)
Legende
- s = die zur Zeit t gehörende Elongation [Auslenkung] ↗
- sₘₐₓ = die maximale Auslenkung oder die Amplitude ↗
- sin = die mathematische Sinusfunktion ↗
- π = das altgriechische Pi ↗
- t = die Zeit als unabhängige Variable ↗
- T = die Dauer einer Schwingung, die Periodendauer ↗
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Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz[2] der harmonischen Schwingung
Die folgende Darstellung leitet die harmonische Schwingung aus einer Kreisbewegung her. Darüber kommen auch die Größen ω und φ, die zur Beschreibung einer Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeit dienen. Betrachtet man von der Kreisbewegung nur den vertikalen Abstand s des Objektes auf der Kreisbahn hin zum Kreismittelpunkt, ergibt sich daraus die Formel für harmonische Schwingung[2].
Formeln
- v = sₘₐₓ·ω·cos(φ)
- v = sₘₐₓ·ω·cos(2·π·t/T)
Legende
- v = die zur Zeit t gehörende Geschwindigkeit ↗
- ω = kleines Omega, die Kreisfrequenz [gleich 2·π·t/T] ↗
- φ = kleines Phi, Phase der Schwingung
- sₘₐₓ = die maximale Auslenkung oder die Amplitude ↗
- cos = die mathematische Cosinusfunktion ↗
- π = das altgriechische Pi ↗
- t = die Zeit als unabhängige Variable ↗
- T = die Dauer einer Schwingung, die Periodendauer ↗
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Das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz[2] der harmonischen Schwingung
Formel
- a = -sₘₐₓ·ω²·sin(2·π·t/T)
Legende
- a = die zur Zeit t gehörende Beschleunigung ↗
- ω = kleines Omega, die Kreisfrequenz [gleich 2·π·t/T] ↗
- sₘₐₓ = die maximale Auslenkung oder die Amplitude ↗
- sin = die mathematische Sinusfunktion ↗
- π = das altgriechische Pi ↗
- t = die Zeit als unabhängige Variable ↗
- T = die Dauer einer Schwingung, die Periodendauer ↗
Von der Schwingung zur Welle
Hängt man viele Fadenpendel in einer geraden Linie hintereinander auf und verbindet man die Pendel durch feine Gummibänder miteinander, tritt folgender Effekt auf: stößt man das erste Pendel an, beginnt es zu schwingen. Über das Gummibändchen nimmt es das Nachbarpendel mit, sodass dieses auch schwingt. Die Schwingung pflanzt sich so von Pendel zu Pendel entlang der Linie im Raum aus. Eine sich im Raum ausbreitende Schwingung nennt man eine Welle. Eine harmonische Schwingung die sich im Raum ausbreitet ist entsprechend eine harmonische Welle oder auch eine Sinuswelle ↗
Fußnoten
- [1] Metzeler Philosophie Lexikon. Herausgegeben von Peter Prechtl und Franz-Peter Burkard. 2. überarbeitete Auflage. Stuttgart, Weimar, 1999. ISBN: 3-476-01679-X. Dort ist auf Seite 109 die harmonische Schwingung definiert als eine „Schwingung, die durch eine Sinus- oder cosinus-Kurve beschrieben werden kann“.
- [2] Oskar Höfling: Physik. Lehrbuch für Unterricht und Selbststudium. Fünfzehnte Auflage. 1994. ISBN: 3-427-41045-5. Seite 197 ff.