Differentialgleichung
Definition
Basiswissen
Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung in der eine Ableitung einer gesuchten Funktion enthalten ist. Die Lösung einer Differentialgleichung ist keine Zahl, sondern eine gesuchte Menge von Funktion.
Beispiel einer Differentialgleichung
- y' = 2·y
Legende
- y hat hier die Bedeutung y(x) oder f(x) ↗
- y' ist die erste Ableitung ↗
Die Differentialgleichung in Worten
Im Beispiel oben ist eine Funktion gesucht, deren Doppeltes gleich ihrer eigene Ableitung ist. Mit anderen Worten: welche Funktion kann man mit zwei multiplizieren und erhält dadurch ihre Ableitung?
Lösung der Beispielgleichung
Für das Beispiel oben kann man die Funktion y = e hoch 2x wählen. Nach der Kettenregel ist y=e^(2x) abgeleitet y'(x)=2·e^(2x). Damit ist diese Funktion eine Lösung der Gleichung oben: ihre erste Ableitung ist identisch mit ihrem Doppelten.
Lösungsverfahren
Ähnlich wie für Stammfunktion kann man für Differentialgleichung keine in sich geschlossenes Lösugsverfahren angeben. Selbst einfach erscheinende Gleichung können oft nicht analytisch gelöst werden. Der Umgang mit Differentialgleichungen erfordert viel Erfahrung und Übung. Als Einstieg empfohlen ist als Buch Der Heuser ↗
Beispiel II
- y'' = -y
- In Worten: ein Funktionsterm y zweimal abgeleitet gibt das negative des Funktionstermes.
- Lösung a): y=cos(x)
- Lösung b): y=sin(x)
- Lösung c): y=4·cos(x)
- Lösung d): y=4·sin(x)
- Lösung e): y=cos(x)+sin(x)
- Allgemeine Lösung: y=c·cos(x)+d·sin(x)
Um sich zu überzeugen, dass die Lösungen hier im Beispiel wirklich Lösungen sind, kann man sie zweimal ableiten. Man wird dann jeweils das Negative des Starttermes erhalten. Am Beispiel des cos(x) erhalten wir y=cos(x) ⭢ einmal ableiten ⭢ y'=-sin(x) ⭢ noch mal ableiten gibt ⭢ y''=-cos(x). Man sieht dass der Ursprungsterm zweimal abgeleitet seine eigenen Negation ergibt und damit die ursprüngliche Differentialgleichung erfüllt. Man kann für die anderen Lösungen dieselbe Probe für sich als Übung durchführen.
Fußnoten
- [1] Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. Springer Verlag. 1989. ISBN: 978-3-322-93992-0.