Basiswissen

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung in der eine Ableitung einer gesuchten Funktion^[1] und die Funktion selbst enthalten ist^[2]. Die Lösung einer Differentialgleichung ist keine Zahl, sondern eine gesuchte Funktion^[3] oder Menge von Funktionen^[4].

Beispiel I

y' = 2·y

Legende

y hat hier die Bedeutung y(x) oder f(x) ↗

y' ist die erste Ableitung ↗

Die Differentialgleichung in Worten

Im Beispiel oben ist eine Funktion gesucht, deren Doppeltes gleich ihrer eigene Ableitung ist. Mit anderen Worten: welche Funktion kann man mit zwei multiplizieren und erhält dadurch ihre Ableitung?

Lösung der Beispielgleichung

Für das Beispiel oben kann man die Funktion y = e hoch 2x wählen. Nach der Kettenregel ist y=e^(2x) abgeleitet y'(x)=2·e^(2x). Damit ist diese Funktion eine Lösung der Gleichung oben: ihre erste Ableitung ist identisch mit ihrem Doppelten.

Lösungsverfahren für Differentialgleichungen

Ähnlich wie für Stammfunktion kann man für Differentialgleichung keine in sich geschlossenes Lösugsverfahren angeben. Selbst einfach erscheinende Gleichung können oft nicht analytisch gelöst werden. Der Umgang mit Differentialgleichungen erfordert viel Erfahrung und Übung. Ein wichtiger Ausgangspunkt ist es, die Differentialgleichung der Art nach zu bestimmen. Für verschiedene Arten gibt es dann bewährte Lösungsansätze. Als Einstieg empfohlen ist als Buch Der Heuser ↗

Beispiel II

y'' = -y

In Worten: ein Funktionsterm y zweimal abgeleitet gibt das Negative des Funktionstermes.

Dieses Beispiel zeigt, dass es viele deutlich unterschiedliche Lösungen geben kann^[4].

Lösung a): y=cos(x)

Lösung b): y=sin(x)

Lösung c): y=4·cos(x)

Lösung d): y=4·sin(x)

Lösung e): y=cos(x)+sin(x)

Allgemeine Lösung: y=c·cos(x)+d·sin(x)

Um sich zu überzeugen, dass die Lösungen hier im Beispiel wirklich Lösungen sind, kann man sie zweimal ableiten. Man wird dann jeweils das Negative des Starttermes erhalten. Am Beispiel des cos(x) erhalten wir y=cos(x) ⭢ einmal ableiten ⭢ y'=-sin(x) ⭢ noch mal ableiten gibt ⭢ y''= -cos(x). Man sieht dass der Ursprungsterm zweimal abgeleitet seine eigenen Negation ergibt und damit die ursprüngliche Differentialgleichung erfüllt. Man kann für die anderen Lösungen dieselbe Probe für sich als Übung durchführen.

Beispiel III

y' = y²

In Worten: die erste Ableitung ist gleich dem Quadrat des Funktionsterms.

Lösung: y = -1/x

Denn: y' = 1/x²

Und y² = 1/x²

Beispiel IV

y' = y-2

Der Funktionsterm vermindert um zwei gibt die erste Ableitung

Lösung: y = e^x + 2

Denn: y' = e^x

Und y-2 = e^x + 2 -2 = e^x

Die Newton-Notation

In Differentialgleichungen finden man als Platzhalter für den Funktionsterm (y), dessen erste Ableitung (ẏ) oder zweite Ableitung (ÿ) oft kleine lateinische Buchstaben mit einem oder mehreren Punkten darüber. Die Anzahl der Punkte gibt die Ordnung der Ableitung an. ẏ steht für die erste Ableitung, ÿ für die zweite Ableitung und so weiter. Diese Schreibweise ist vor allem in der Physik weit verbreitet. Man bezeichnet sie als Newton-Notation ↗

Die Ordnung einer Differentialgleichung

Als Ordnung einer Differentialgleichung bezeichnet man den Rang der höchsten in ihr vorkommenden Ableitung. In der Physik kommen vor allem Differentialgleichungen der ersten und der zweiten Ordnung vor. Hier steht die Differentialgleichung für eine harmonische Schwingung:

ÿ(t) = -y(t)·D/m

Hier kommen die eigentliche Funktion wie auch die zweite Ableitung (ÿ) der Funktion y vor. Damit ist das eine Differentialgleichung zweiter Ordnung^[7]. Siehe auch Differentialgleichung erster Ordnung ↗

Fußnoten

[1] Das Spektrum Lexikon der Physik definiert als Differentialgleichunge jede "mathematische Gleichung, die Ableitungen einer unbekannten Funktion y enthält". In: der Artikel "Differentialgleichung". Spektrum Lexikon der Physik. Abgerufen am 23. April 2024. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/physik/differentialgleichung/3051

[2] Das Metzler Lehrbuch der Physik definiert Differentialgleichungen als "Gleichungen, in denen eine gesuchte Funktion und ihre Ableitungen miteinander verknüpft sind". In: Metzler Physik. 5. Auflage. 592 Seiten. Westermann Verlag. 2022. ISBN: 978-3-14-100100-6. Dort das Kapitel "Differentialgleichungen in der Physik" auf Seite 115.

[3] Der Papula schreibt zu Lösungen einer Differentialgleichung: "Die Differentialgleichung kann als Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion aufgefasst werden. Lösungen einer Differentialgleichung sind daher Funktionen." In: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 2. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-07789-1. Verlag Springer Vieweg. Dort das Kapitel "1.3 Lösungen einer Differentialgleichung" auf Seite 345. Siehe auch Der Papula ↗

[4] Abweichend vom Papula betont das Spektrum Lexikon der Physik, dass die Lösung einer Differentialgleichung oft aus unendlich vielen Funktionen besteht, und man diese auch finden soll: "Jede Funktion, welche eine gegebene Differentialgleichung erfüllt, heißt Lösung dieser Differentialgleichung, in der Regel gibt es davon unendlich viele. Das Lösen einer Differentialgleichung besteht darin, alle Lösungen zu finden." In: der Artikel "Differentialgleichung". Spektrum Lexikon der Physik. Abgerufen am 23. April 2024. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/physik/differentialgleichung/3051

[5] "Die Ordnung einer Differentialgleichung ist die höchste Ordnung der Ableitungen, die in ihr vorkommen. Die meisten Differentialgleichungen in der Physik sind von der Ordnung eins oder zwei." In: der Artikel "Differentialgleichung". Spektrum Lexikon der Physik. Abgerufen am 23. April 2024. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/physik/differentialgleichung/3051

[6] Die Differentialgleichung - ÿ(t) = -ẏ·D/m hat mehrere Lösungen. Die Lösung ŷ·sin(ωt) erlaubt Schwingungen beliebiger Amplitude und Frequenz. Die Lösung ŷ,sin(ωt+φ0) erlaubt zusätzlich noch eine Phasenverschiebung. Und die Lösung y(t)=0 bildet den Stillstand ab. Siehe auch harmonische Schwingung ↗

[7] Bei einer Differentialgleichung zweiter Ordnung darf, muss aber nicht, auch die erste Ableitung enthalten sein. Siehe mehr unter Differentialgleichung zweiter Ordnung ↗

[8] Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. Springer Verlag. 1989. ISBN: 978-3-322-93992-0. Ein sehr gutes Buches mit vielen Beispielen und tieferen Zusammenhängen aus der Technik und den Naturwissenschaften. Siehe auch Der Heuser ↗