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Differentialgleichung


Definition


Basiswissen


Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung in der eine Ableitung einer gesuchten Funktion[1] und die Funktion selbst enthalten ist[2]. Die Lösung einer Differentialgleichung ist keine Zahl, sondern eine gesuchte Funktion[3] oder Menge von Funktionen[4].

Beispiel I



Legende



Die Differentialgleichung in Worten


Im Beispiel oben ist eine Funktion gesucht, deren Doppeltes gleich ihrer eigene Ableitung ist. Mit anderen Worten: welche Funktion kann man mit zwei multiplizieren und erhält dadurch ihre Ableitung?

Lösung der Beispielgleichung


Für das Beispiel oben kann man die Funktion y = e hoch 2x wählen. Nach der Kettenregel ist y=e^(2x) abgeleitet y'(x)=2·e^(2x). Damit ist diese Funktion eine Lösung der Gleichung oben: ihre erste Ableitung ist identisch mit ihrem Doppelten.

Lösungsverfahren für Differentialgleichungen


Ähnlich wie für Stammfunktion kann man für Differentialgleichung keine in sich geschlossenes Lösugsverfahren angeben. Selbst einfach erscheinende Gleichung können oft nicht analytisch gelöst werden. Der Umgang mit Differentialgleichungen erfordert viel Erfahrung und Übung. Ein wichtiger Ausgangspunkt ist es, die Differentialgleichung der Art nach zu bestimmen. Für verschiedene Arten gibt es dann bewährte Lösungsansätze. Als Einstieg empfohlen ist als Buch Der Heuser ↗

Beispiel II



Um sich zu überzeugen, dass die Lösungen hier im Beispiel wirklich Lösungen sind, kann man sie zweimal ableiten. Man wird dann jeweils das Negative des Starttermes erhalten. Am Beispiel des cos(x) erhalten wir y=cos(x) ⭢ einmal ableiten ⭢ y'=-sin(x) ⭢ noch mal ableiten gibt ⭢ y''= -cos(x). Man sieht dass der Ursprungsterm zweimal abgeleitet seine eigenen Negation ergibt und damit die ursprüngliche Differentialgleichung erfüllt. Man kann für die anderen Lösungen dieselbe Probe für sich als Übung durchführen.

Die Newton-Notation


In Differentialgleichungen finden man als Platzhalter für den Funktionsterm (y), dessen erste Ableitung (ẏ) oder zweite Ableitung (ÿ) oft kleine lateinische Buchstaben mit einem oder mehreren Punkten darüber. Die Anzahl der Punkte gibt die Ordnung der Ableitung an. ẏ steht für die erste Ableitung, ÿ für die zweite Ableitung und so weiter. Diese Schreibweise ist vor allem in der Physik weit verbreitet. Man bezeichnet sie als Newton-Notation ↗

Die Ordnung einer Differentialgleichung


Als Ordnung einer Differentialgleichung bezeichnet man den Rang der höchsten in ihr vorkommenden Ableitung. In der Physik kommen vor allem Differentialgleichungen der ersten und der zweiten Ordnung vor. Hier steht die Differentialgleichung für eine harmonische Schwingung:


Hier kommen die eigentliche Funktion wie auch die zweite Ableitung (ÿ) der Funktion y vor. Damit ist das eine Differentialgleichung zweiter Ordnung[7]. Siehe auch Differentialgleichung erster Ordnung ↗

Fußnoten