Basiswissen

Ein Ort-Zeit-Diagramm ist ein Graph, der auf der horizontalen Achse (von links nach rechts) die Zeit t angibt und auf der vertikalen Achse (von unten nach oben) eine Ortskoordinate. Typische Abkürzungen für Ortskoordinaten sind das x, y oder z. Eine wichtige Unterscheidung ist die zwischen Orts- und Streckendiagrammen.

Das Ort-Zeit-Diagramm einer Inselfähre

Das Beispiel eines Fährschiffes^[1], das zwischen einem Hafen auf dem Festland und einer insel hin und her fährt^[2], soll hier die Bedeutung und einige Besonderheiten eines Ort-Zeit-Diagramms klar machen. Stellen wir uns einen Hafen H auf dem Festland links und einen kleinen Anleger A auf einer Insel rechts vor. Dazwischen liegen 32 Kilometer offenes Meer:

H····<- 32 Kilometer Meer ->····A

Am Hafen H soll dann die x-Koordinate als Ortsangabe bei 0 starten. Die Längeneinheit soll der Kilometer sein. Am Inselanleger A soll die x-Koordinaten dann 32 (für zweiunddreißig Kilometer) betragen. Die Mitte der Strecke liegt dann bei x=16.

Die Fähre soll nun auf gerader Strecke immer mit einer Geschwindigkeit von 16 Kilometern pro Stunde fahren. Am Hafen soll sie jeweils eine Stunde Aufenthalt haben^[3]. Als Gedankenspiel sollen die Fähren rund um die Uhr den ganzen Tag über im Einsatz sein.

Legt man nun den Anfang einer Betrachtung auf das Auslaufen der Fähre, so ist die Zeit, gemessen in Minuten, dann t=0. Mit Hilfe der Geschwindigkeit von 16 km/h und den jeweils halbstündigen Pausen kommt man dann zu folgender Zuordnung:

t=0 -> Position 0 km (Abfahrt vom Hafen)

t=½ -> Position 8 km (viertel Strecke zur Insel)

t=1 -> Position 16 km (halbe Strecke zur Insel)

t=1½ -> Position 24 km (dreiviertel Strecke)

t=2 -> Position 32 km (Ankunft am Inselanleger)

t=2½ -> Position 32 km (Abfahrt vom Inselanlager)

t=3 -> Position 24 km (Viertel Strecke des Rückweges)

t=3½ -> Position 16 km (halbe Strecke des Rückweges)

t=4 -> Position 8 km (dreiviertel des Rückweges)

t=4½ -> Position 0 km (Ankunft am Hafen)

t=5 -> Position 0 km (Abfahrt am Hafen)

und so weiter.

Man sieht, dass derselbe Ort zu verschiedenen Zeiten erreicht sein kein. Wenn nämlich die Bewegung rückwärts erfolgt, dann werden die Zahlen für die Ortsangabe wieder kleiner.

Von der Tabelle zum Graphen

Die Angaben oben kann man auch als Zuordnung^[6] in Form einer Tabelle deuten. Dies Zuordnung kann man auch als Graph in einem 2D-Koordinatensystem darstellen^[7]. Die Punkte sind dann:

(0|0) (½|8) (1|16) (1½|24) (2|32) (2½|32) (3|24) (3½|16) (4|8) (4½|0) (5|0)

Die Zeitangeben t kommen dabei auf die horizontale Achse (von links nach rechts). Und anders als sonst in der Mathematik üblich, kommen dann die x-Werte auf die vertikale Achse (die sonst oft y-Achse heißt). Siehe mehr unter Graph aus Tabelle ↗

Das Orts-Zeit-Diagramm

Hat man die Punkte aus der Tabelle alle als Graph in ein 2D-Koordinatensystem eingetragen, kann man die Punkte von links nach rechts verbinden. Von t=0 bis t=2 hat man dann eine von links unten nach rechts oben ansteigende Gerade. Von t=2 bis t=2½ verläuft die Gerade waagrecht (Pausenzeit am Inselanleger). Von t=2½ bis t=4½ verläuft die Gerade von oben links nach unten rechts fallend. Und von t=4½ bis t=5 verläuft die Gerade auf der x-Achse liegend waagrecht.

MERKSATZ:

1.0 Das Ort-Zeit-Diagramm sagt, wo genau etwas zu einer bestimmten Zeit ist.

Man kann in dem Diagramm auf der horizontalen Achse zum Beispiel zum Zeitpunkt t=1 gehen. Der Punkt des Graphe darüber hat dann den x-Wert (auf der vertikalen Achse) von 16. Damit kann man sagen: nach einer Stunde ist das Schiff am Ort x=16 Kilometer.

Zum Unterschied von Ort und Weg

In der Physik unterscheidet man Ortsangaben und Wegangaben. Statt von Wegen spricht man auch von Strecken oder Längen. Eine Ortsangabe sagt, wo etwas ist. Eine Wegangabe sagt, welchen Weg etwas genommen hat oder wie lang der Weg war. Orts- und Wegdiagramme für denselben Vorgang können sich deutlich in ihren Zahlenwerten und Graphen unterscheiden.

MERKSATZ:

2.0 Das Weg-Zeit-Diagramm sagt, welche Weglänge etwas zu einer bestimmten Zeit bereits zurückgelegt hat.

Im Beispiel mit der Inselfähre hat die Fähre zur Zeit t=4 die Position 8 Kilometer erreicht. Um dort hinzugelangen hat sie aber eine Weglänge oder Strecke von insgesamt 56 Kilometern zurückgelegt. Sie ist zuerst die 32 Kilometer vom Hafen zur Insel gefahrne. Und dann ist sie wieder 24 Kilometer zurück Richtung Hafen gefahren. Somit kommt die Fähre auf eine gefahrene Strecke von 56 Kilometern. Wenn nicht die Position sondern der zurückgelegt Weg interessiert, dann zeichnet man eher ein Weg-Zeit-Diagramm ↗

Die Steigung im Ort-Zeit-Diagramm

Aus den Betrachtungen oben folgt, dass ein Ort-Zeit-Diagramm alle drei Arten einer Steigung haben kann: es kann steigen (positive Steigung), waagrecht verlaufen (Steigung 0) oder fallen (negative Steigung). Siehe auch Steigung ↗

MERKSATZ:

3.0 In einem Ort-Zeit-Diagramm gibt es keine Einschränkung bezüglich der Steigung.

Anders sieht es in einem Weg-Zeit-Diagramm aus. Der zurückgelegte Weg kann ja mit der Zeit nicht kleiner werden. Er kann bei Pausen aufhören zu wachsen, aber der bereits zurückgelegte Weg kann nie mehr ungeschehen oder ungergangen gemacht werden.

Die Umkehrfunktion für ein Ort-Zeit-Diagramm

Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der dem Wert einer Größe immer eindeutig der Wert einer anderen Größe zugeordnet ist. In der klasssischen Physik^[8] kann man jedem Zeitpunkt t immer eindeutig zuordnen, wo ein Gegenstand sich dann aufhält.

MERKSATZ:

4.0 Ein Ort-Zeit-Diagramm der klassischen Physik ist immer auch der Graph einer Funktion.

Bei einer Umkehrfunktion dreht man die Betrachtung sozusagen um. Man fragt rückwärts: welche Zeitpunkte gehören zu einer bestimmten Ortsangabe? Zum Beispiel: zu welchen Zeiten war die Fähre am Ort x=32? Hier kann man mehr als eine richtige Antwort geben. Die Fähre war nämlich die ganze Zeit von t=2 bis t=2½ am Ort 32 km am Inselanleger. Wenn aber mehr als eine richtige Antwort möglich ist, ist eine Zuordnung keine Funktion mehr. Damit hat ein Ort-Zeit-Diagramm auch nicht zuverlässig immer eine Umkehrfunktion^[9].

MERKSATZ:

5.0 Ein Ort-Zeit-Diagramm hat nicht immer auch eine Umkehrfunktion. Nur wenn es streng monoton fallend oder streng monoton steigend ist, gibt es eine Umkehrfunktion.

Ob ein Ort-Zeit-Diagramm eine Umkehrfunktion hängt von den vorhandenen Steigung des Graphen ab. Nur dann wenn der Graph entweder nur von links nach rechts ansteigt (streng monoton steigend) oder von links nach rechts nur abfällt (streng monoto fallend), hat die Zuordnung auch eine Umkehrfunktion ↗

Das Ort-Zeit-Diagramm in der Relativitätstheorie

In der Relativitätstheorie nach Einstein geht es darum, wie man Ortskoordinaten und Zeitpunkte aus einem Koordinatensystem in ein anderes Koordinatensystem umrechnet. Denkbar ist zum Beispiel, dass das Schiff einmal von einem ortsfesten Koordinaten einer Schiffsleitstelle aus betrachtet wird, oder aber vom beweglichen Koordinatensystem eines beweglichen Flugzeugen aus.

MERKSATZ:

6.0 In der Relativitätstheorie kann sich je nach gewähltem Koordinatensystem die Weglänge zwischen zwei Orten ändern. Das ist im Gedankenmodell der klassischen Physik unmöglich.

Anders als in der klassischen Physik kann es in der Relativitätstheorie nun vorkommen, dass sich nicht nur die Orts- und Zeitkoordinaten sondern überraschenderweise auch die Zeitdauern und die Weglängen zwischen zwei Ereignissen (Schiff am Hafen, Schiff am Anleger) verändern. Siehe dazu den Artikel zur Längenkontraktion ↗

Das Ort-Zeit-Diagramm in der Quantenphysik

In der klassischen Physik^[8] geht man davon aus, dass die punktförmig gedachten Bestandteile eines Objektes zu jedem Zeitpunkt einen festen Ort ihres momentanten Aufenthaltes haben. Auch wenn man den Ort nicht, so hat das Objekt einen Aufenthaltsort. Diese Annahme muss man in der Quantenphysik fallen lassen.

MERKSATZ:

7.0 In der Quantenphysik ist es unmöglich, für ein Quantenobjekt ein eindeutiges Ort-Zeit-Diagramm mit beliebiger Genauigkeit zu erstellen.

Ein sogenanntes Quantenobjekt, zum Beispiel ein Elektron, HAT nicht immer einen eng begrenzbaren Ort wo es sich aufhält. Es HAT nur veschieden große Wahrscheinlichkeiten, dafür, an verschiedenen Orten gemessen zu werden. Siehe dazu unter Heisenbergsche Unschärferelation ↗

Fußnoten

[1] Als gedankliches Vorbild wurden hier die Seebäderschiffe zu den ostfriesischen Inseln genutzt. Diese Schiffe haben eine typische Höchstgeschwindigkeit von etwa 22 km/h (Wangerooge) bis etwa 29 km/h (MS Ostfriesland nach Borkum). Als typisches Beispiel siehe das Seebäderschiff Wangerooge ↗

[2] Die Entfernungen der ostfriesisches Festlandshäfen zu den Inseln liegen zwischen gut 4 km (Neßmersiel-Baltrum) bis zu gut 45 km (Emden-Borkum). Entsprechend liegen die Fahrzeiten zwischen etwa 30 Minuten und gut 130 Minuten.

[3] Tatsächlich fahren die Fähren mit oft wechselnder Geschwindigkeit. Strömungen und die oft niedrigen Wasserstiefen haben einen großen Einfluss. Auch die Zeiten in den Häfen können sehr stark schwanken. So fahren die Fahren nachts zu Beispiel gar nicht.

[4] In einem Lehrbuch der Physik werden Gleichung wie "x=x(t)", "y=y(t)", oder "z=z(t)" zur Angabe von "Ortskoordinaten" benannt. Diese Gleichungen so das Lehrbuch "geben zu jeder beliebigen Zeit t die Lage des Punktes P an". In: Oskar Höfling: Physik. Lehrbuch für Unterricht und Selbststudium. Fünfzehnte Auflage. 1994. ISBN: 3-427-41045-5. Dort die Seiten 27 und 28.

[5] Ein Diagramm, das für jeden Zeitpunkt nicht den Ort sondern den insgesamt zurückgelegten Weg angibt, nennt man ein Weg-Zeit-Diagramm ↗

[6] Im Beispiel mit der Inselfähre wird jedem Zeitpunkt t eine Position x zugeordnet. Das t ist die sogenannte unabhängige Variable, das x die abhängige Variable. Hier muss man aufpassen: in der Schulmathematik wird das x meist als unabhängige Variable betrachtet. Das ist hier in diesem Fall aber anders. Siehe auch Zuordnung ↗

[7] Um die Daten der Inselfähre in einem 2D-Koordinatensystem dazurstellen, trägt man die t-Werte auf der horizontalen Achse (von links nach rechts) auf. Die Positionen x kommen dann auf die vertikale Achse (von unten nach oben). Siehe auch Graph aus Tabelle ↗

[8] Als klassische Physik bezeichnet man die Physik bis etwa zum Jahr 1900. Sie berücksichtigt weder Einsteins Relativitätstheorie noch die Quantenphysik. In der klassischen Physik kann man für einen punktförmig gedachten Gegenstand zumindest theoretisch für jeden Zeitpunkt genau angeben, wo er sich befindet. Auf jeden Fall würde man sagen, dass ein Gegenstand für jeden Zeitpunkt an einem Ort IST. Damit ist eine so gedachte Zuordnung im Sinn der Mathematik immer auch eine Funktion ↗

[9] Bei einer Umkehrfunktion vertauscht man die abhängige und unabhängige Variable und stellt dann die Funktionsgleichung um nach der abhängigen Variablen. Nicht jede Funktion hat eine Umkehrfunktion ↗