f(x)=4x+8 ist eine typische mathematische Funktion: man kann für x eine beliebige Zahl einsetzen. Die Rechnung gibt dann einen y-Wert als Ergebnis der eindeutig dem eingesetzten x-Wert zugeorndet ist. Das ist die Grundidee einer Funktion. Der Gedanke wird hier ausführlich erklärt.
Allgemeine Schreibweise von Funktionen
"Wenn x und y zwei variable (veränderliche) Größen sind und wenn sich einem gegebenen x-Wert genau ein y-Wert zuordnen lässt, dann nennt man y eine Funktion von x und schreibt: y = f(x)" [1]. Mehr zu dieser Schreibweise steht im Artikel => f(x)
Genaue Definition einer Funktion
Eine Funktion ordnet jedem Element der Quellmenge (Definitionsmenge) genau ein Element der Zielmenge (Wertemenge) zu. Diese Elemente können Namen von Menschen, Farben, Körpergrößen, Gehälter oder psychologische Typen sein. In dieser allgemeinen Definition ist der Begriff der Funktion identisch mit dem mengentheoretischen Begriff der Abbildung. In der Schulmathematik beschränkt sich der Begriff der Funktion meist auf Mengen mit Zahlen. Siehe auch den allgemeinen Begriff der => Abbildung
Konkretes Praxisbeispiel einer Funktion
Man stelle sich ein tiefes Meer mit klarem Wasser vor. Man taucht gedanklich von oben nach unten ab. Die Tauchtiefe soll x sein. Man kann dann für jede Tiefe x genau einen Wert y für die Helligkeit angeben. Die Helligkeit ist damit eine Funktion der Tauchtiefe, kurz: Helligkeit = f(Tauchtiefe). Weitere Beispiele unter => Funktionen nach Sachthemen
Was ist eine Funktion in der Schulmathematik?
In der Schulmathematik ist eine Funktion meistens eine Gleichung.
Links steht ein f(x) oder ein y und rechts ein Funktionsterm.
Man kann rechts für x irgendeine beliebige Zahl einsetzen.
Damit rechnet man die rechte Seite aus.
Das Ergebnis ist dann f(x) oder y.
Die Gleichung ordnet jedem x-Wert ...
dadurch genau einen y-Wert zu.
Was ist das Besondere an einer Funktion?
Das Besondere ist, dass zu jedem x-Wert immer genau ein y-Wert passt.
Zu jeder x-Zahl, die man in die Funktionsgleichung einsetzt ...
passt immer genau eine y-Zahl, dass die Gleichung aufgeht.
Beispiel für eine Funktion
Wir nehmen die Gleichung: f(x)=4x+1
Man könnte auch schreiben: y=4x+1
Man kann jetzt gedanklich irgendeine Zahl für x einsetzen.
Wir nehmen die Zahl 100. Dann kommt auf der rechten Seite 401 heraus.
Welche Zahl muss man für y einsetzen, dass die Gleichung aufgeht?
Es passt nur die Zahl 401.
Also passt für x=100 nur y=401.
Das nennt man eine eindeutige Zuordnung:
Zu dem x-Wert passt genau eindeutig ein y-Wert.
Und genau so etwas nennt man eine Funktion.
Beispiel für "keine Funktion"
Wir nehmen die Gleichung y²=x.
Man kann wieder für x irgendeine Zahl einsetzen.
Wir nehmen die Zahl 4.
Welche y-Werte würden passen, dass die Gleichung aufgeht?
Man kann für y zum Beispiel die 2 einsetzen: denn 2·2 gibt 4.
Man kann aber auch die -2 einsetzen, denn: -2·(-2) gibt auch 4.
Jetzt passen zu einem x-Wert plötzlich 2 y-Werte.
Und das ist für eine Funktion nicht erlaubt.
y²=x ist also keine eindeutige Zuordnung.
Es ist eine mehrdeutige Zuordnung.
Was meint das f(x)?
In Schulbüchern wird manchmal das f(x) und manchmal das y geschrieben.
Man benutzt das f(x) gerne, um damit zu zeigen, dass es um eine Funktion geht.
Wenn man liest: f(x)=x²-2, dann weiß man: das ist wirklich eine Funktion.
Wenn man liest: y=x²-2, dann kann es - muss aber keine - Funktion sein.
Wie erkennt man Funktionen an Graphen?
Die x-Achse muss von links nach rechts gehen.
Die y-Achse muss von unten nach oben gehen.
Wenn das so ist, dann funktioniert immer die folgende Methode:
Man überprüft, ob der Graph irgendwo zwei oder mehr Punkte ...
senkrecht übereinander hat. Wenn ja, gehört er nicht zu einer Funktion.
Ansonsten schon.
Gibt es auch Funktionen ohne Zahlen?
Ja, man kann zu Beispiel jeder Frucht immer genau eine Farbe zuordnen und das in einer Tabelle darstellen. Die Zuordnung wäre dann eine Funktion. Oder man ordnet jedem Bereich im Gehirn eine psychische Funktion zu. Auch das wäre eine Funktion. Diese Art von zahlenlosen Funktionen kommen zum Beispiel in der Informatik häufig vor.
Was ist die Funktionentheorie?
Als Funktionentheorie bezeichnet man ein Gebiet der höheren Mathematik, wie es an Hochschulen unterrichtet wird. Dabei geht es um Auf- und Ableitungen von sogenannten komplexen Zahlen. Komplex nennt man Zahlen, die auch abseits von der Zahlengeraden liegen können. Siehe mehr dazu im Artikel => Funktionentheorie
Quellen
[1] Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 2: Eig bis Inn; 2001; ISBN: 3-8274-0437-7: Funktion ist synonym mit Abbildung, aber oft eingeschränkt auf Zahlen
[2] Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Seite 49.
