Mittlere Geschwindigkeit
Anschaulich
Basiswissen
Die immer gleiche Geschwindigkeit, die etwas gebraucht hätte, um in derselben Zeit genauso weit zu kommen wie mit einer ständig wechselnden Geschwindigkeit nennt man die mittlere oder auch die durchschnittliche Geschwindigkeit. Typische Formeln für die Berechnung sind zum Beispiel v=s/t und v=Δs/Δt. Das ist hier mit verschiedenen Beispielen erklärt.
Ein Schiff in ruhiger Fahrt
Ein 85 Meter langes Schiff fährt auf einem schmalen Kanal durch die Landschaft. Um genau 85 Meter vorwärts zu kommen, benötigte das Schiff 41 Sekunden. Dabei ist zumindest mit dem Auge keine Änderung der Geschwindigkeit zu erkennen.
Das Binnenschiff Inception[1] legt in 41 Sekunden gut 85 Meter zurück. Das sind etwa 2,1 Meter pro Sekunde oder rund 7,5 km/h.
Wenn man die gefahrene Strecke von 85 Metern über eine mathematische Division gleichmäßig auf die dafür benötigten 41 Sekunden verteilt, dann kommt man auf rund 2,1 Meter für jede Sekunde. Das ist dann die Geschwindigkeit des Schiffes: 2,1 Meter pro Sekunde oder kurz geschrieben auch 2,1 m/s.
Tatsächlich könnte es sein, dass das Schiff auf der Strecke manchmal etwas schneller und manchmal etwas langsamer fuhr. Ein Grund dafür können Windstöße, Wellenschläge oder auch Schwankungen in der Motorleistung des Schiffes sein. Wenn diese Änderungen aber vernachlässigt werden sollen, dann genügt es, die mittlere Geschwindigkeit anzugeben.
Ein Schiff mit Pausen in Schleusen
Angenommen ein Schiff auf eine Kanal fährt eine Stunde lang mit einer Geschwindigkeit von 18 km/h. Dann kommt es an eine Schleuse und verbringt dort bei Stillstand eine weitere Stunde. In den zwei insgesamt betrachteten Stunden hat es also insgesamt 18 Kilometer zurückgelegt. Die gesamte Strecke geteilt durch die dafür benötigte Zeit gibt dann die mittlere Geschwindigkeit, hier rechnet man also: 18 km verteilt auf zwei 2 Stunden. Das gibt 9 Kilometer in einer Stunde. Wenn das Schiff die 18 Kilometer in zwei Stunden mit einer immer gleichen Geschwindigkeit zurückgelegt hätte, dann wäre diese Geschwindigkeit 9 km/h gewesen. Das ist die mittlere Geschwindigkeit. Die mittlere Geschwindigkeit ist damit ein Durchschnitt ↗
Definition
- Angenommen ein Objekt bewegt sich entlang einer Strecke oder durch den Raum.
- Es kann mal schneller sein, mal langsamer oder sogar auch stehen.
- Jetzt betrachtet man zwei beliebige aber verschiedene Punkte ...
- die beide auf dem zurückgelegten Weg des Objektes liegen.
- Um vom ersten Punkt zum zweiten zu kommen, hat das Objekt eine bestimmte Zeit gebraucht.
- Die gleichbleibende Geschwindigkeit, mit der es sich zwischen den Punkten hätte ...
- bewegen müssen, um dieselbe Zeit zu benötigen, das ist die mittlere Geschwindigkeit ↗
Berechnung der mittleren Geschwindigkeit
- Allgemein:
- Die mittlere Geschwindigkeit wird immer für zwei Punkte auf einer Strecke berechnet.
- Man muss die Entfernung zwischen den Punkten kennen oder berechnen.
- Man muss den Zeitunterschied kennen, wann das Ding an den Punkten war.
- Die Entfernung geteilt durch den Zeitunterschied gibt die mittlere Geschwindigkeit.
- Die Formel für die mittlere Geschwindigkeit ist v=s:t ↗
- Rechenbeispiel:
- Ein Schiff legt eine Strecke s von 600 Metern zurück.
- Es benötigt dafür eine Zeit t von 150 Sekunden.
- Einsetzen in v=s/t gibt: v = 600 m / 150 s
- Also: v = 4 m/s ✔
Mittlere Geschwindigkeit als Sekantensteigung
Die Sekantensteigung, das heißt die Steigung zwischen zwei verschiedenen Punkten auf einem Graphen eines Weg-Zeit-Diagramms gibt ebenfalls die mittlere Geschwindigkeit. Formal entspricht das der Formel v=Δs/Δt. Lies mehr dazu unter Sekantensteigung ↗
Bestimmung aus einem Weg-Zeit-Diagramm
Aus einem Weg-Zeit-Diagramm kann man immer die mittlere Geschwindigkeit bestimmen: man wählt zwei beliebige Punkte. Der Unterschied der x-Werte ist die Zeit. Und der Unterschied der y-Werte ist der in dieser Zeit zurückgelegte Weg. Dann teilt man den Weg durch die Zeit. Das Ergebnis ist die mittlere Geschwindigkeit. Lies mehr unter Weg-Zeit-Diagramm ↗
Bestimmung aus einem Ort-Zeit-Diagramm
Bei einem sogenannten Ort-Zeit-Diagramm kann man nicht einfach die Sekantensteigung benutzen, also man kann nicht ohne Weiteres die Differenz zweier Ortswerte durch die dazugehörige Differenz der Zeitpunkte dividieren. Das kann stark irreführende Ergebnisse liefern. Bei einem Ort-Zeit-Diagramm ist jedem Zeitpunkt ein bestimmter Aufenthaltsort x eines beweglichen Objektes zugeordnet. Ein gutes Beispiel ist der Aufenthaltsort eines Ausflugschiffes auf einem Fluss. Angenommen es unternimmt Fahrten von Frankfurt am Main aus ab Flusskilometer 37 und fährt dann ein Stück flussaufwärts etwa bis Flusskilometer 51. Dann kehrt es wieder um zurück nach Frankfurt. Der dazugehörige Graph hat Abschnitte mit positiver und und negativer Steigung, eventuell auch horizontal verlaufende Bereiche (Liegezeiten). Betrachtet man zwei Zeitpunkte zu denen das Schiff fest in Frankfurt liegt und dazwischen eine Fahrt gemacht hätte, gäbe die Formel Δx/Δt die mittlere Geschwindigkeit 0. Denn: die x-Werte vor und und nach der Fahrt sind beide 37 (Ruheplatz in Frankfurt), damit gibt die Ortsdifferenz Δx ebenfalls 0 und damit auch der Quotient für v. Um die mittlere Geschwindigkeit korrekt zu bestimmen, darf man die Methode der Sekantensteigung mit Δx und Δt nur auf Abschnitte mit gleichbleibender Monotonie der Graphen[2] anwenden. Siehe auch Ort-Zeit-Diagramm ↗
Beispiel Flussboot
Ein Schiff fährt auf einem Fluss entlang. Am Ufer stehen in Abständen von einem Kilometer die sogenanten Flusskilometer-Tafeln. Sie geben in Kilomenter an, wo entlang des Flusses man gerade ist. Angenommen ein Schiff ist um 13.00 Uhr bei Flusskilometer 200. Und um 17.00 Uhr ist es bei Flusskilometer 240. Dann hat es in insgesamt 4 Stunden genau 40 Kilometer zurückgelegt. Es kann sein, dass es streckenweise sehr schnell war, dann vielleicht an einer Schleuse stillstand oder sehr langsam fuhr. Wemm man die Strecke (40 km) durch die Zeit (4 h) teilt erhält dann: 10 Kilometer pro Stunde. Das ist die mittlere Geschwindigkeit: So schnell hätte das Schiff für dieselbe Strecke in der derselben Zeit sein müssen, wenn es immer gleich schnell gefahren wäre. Siehe auch Schiffsgeschwindigkeiten [Zahlenbeispiele] ↗
Beispiel Fallschirmspringen
- Angenommen ein Extremsportler fliegt mit eine Ballon auf 35 km Höhe.
- Das ist etwa dreimal so hoch wie ein normaler Düsenjet fliegt.
- Er springt dann aus der Ballongondel heraus und fällt ungebremst nach unten.
- Nach einer Sekunde war er dann etwa 5 Meter tief gefallen.
- Nach vier Sekunden war er dann etwa 80 Meter tief gefallen.
- Der Wegunterschied waren dann 75 Meter.
- Der Zeitunterschied war 3 Sekunden.
- Wegunterschied zu Zeitunterschied gibt 75:3=25.
- Die mittlere Geschwindigkeit waren 25 m/s.
- Siehe auch Sinkrate ↗
Beispiel Radfahren
Im Jahr 1899 umrundete erstmals ein Radfahrer Australien. Gemittelt über alle Fahr- und Ruhezeiten kam er auf eine mittlere Geschwindigkeit von etwas mehr als 2 Kilometern pro Stunde. Im Jahr 2011 wurde in knapp 38 Tagen ein neuer Weltrekord für die Strecke von gut 14400 Kilometern mit einer mittleren Geschwindigkeit von knapp 16 km/h aufgestellt.[3]
Verwandte Ideen und Synonyme
Fußnoten
- [1] Flusskilometer sind auf großen Tafeln gut sichtbar am Ufer aller größeren Flüsse ausgewiesen. Speziell für den Fluss Main siehe unter Mainkilometer ↗
- [2] Die Methode mit der Sekantensteigung funktioniert, solange man innerhalb eines Abschnittes bleibt, der entweder monoton steigend oder monoton fallend ist. Das heißt, waagrechte Teile des Graphen sind innerhalb der Abschnitte erlaubt. Siehe beispielhaft auch die Seite monoton steigend ↗
- [3] Die Umrundung Australiens mit dem Fahrrad gilt als eine extreme Herausforderungen. Nach den offiziellen Regeln muss die Strecke mindestens 14200 Kilometer lang sein und durch die sechs vorgegebenen Orte Sidney, Brisbane, Darwin, Broome, Perth, Esperance, Adelaide und Melbourne führen. Erstmals auf dem Rad umrundet wurde der Kontinent in 245 Tagen von Arthur Richardson im Jahr 1899. Im Jahr 2024 legte der Fahrer Lachlan Morton an einem einzigen Tag einmal 600 Kilometer zurück. Morton packte die gesamte Strecke in genau 30 Tagen, 9 Stunden und 59 Minuten. Morton legte dabei im Schnitt pro Tag rund 450 Kilometer zurück. Er fuhr weitgehend auf öffentlichen Straßen, begann seine täglichen Touren am späten Abend (fuhr die Nacht durch) und hatte insgesamt nur dreimal einen platten Reifen sowie eine Kollision mit einem Känguru.
