R


Kardinalzahl


Didaktik


Basiswissen


Zahlen kann man auf verschiedene Weisen deuten. Zwei dieser Bedeutungen sind die Kardinalität und die Ordinalität. Kardinalität meint eine Anzahl von Dingen, Ordinalität einen Platz in einer Rangfolge. Das ist hier kurz vorgestellt.

Zahlen als Kardinalzahl



Zahlen als Ordinalzahl



Kardinalzahlen in der Didaktik


In der Didaktik, also der Lehre der verschiedenen Lehrmethoden, steht Kardinalität dafür, dass eine Zahl sagt, wie viel man von etwas hat. Eine kardinale Bedeutung der Zahl 4 zum Beispiel ist: man hat 4 Äpfel. Eine andere Bedeutung, hätte die 4 wenn man sagt: der vierte Apfel. Die Zahl 4 sagt jetzt, wo in einer Rangfolge etwas steht, nämlich an vierter Stelle. In dieser zweiten Bedeutung verwendet man die Zahl nicht kardinal sondern ordinal ↗

Die Unterscheidung der kardinalen und der ordinalen Bedeutung einer Zahl spielt eine sehr wichtige Rolle in der Ddidaktik. Die meisten Kinder wechseln problemlos und unbewusst zwischen den zwei Bedeutungen. Wenn sie zum Beispiel die Aufgabe 2+1 rechnen, denken sie automatisch kardinal: man hat zwei Dinge und tut noch eines dazu. Wie viele Dinge hat man am Ende. Die ordinale Vorstellung wäre hier nicht sinnvoll: man hat die dritte Stelle von etwas und rechnet die erste Stelle hinzu. Welche Stelle gibt das am Ende? Das macht wenig Sinn. Kinder mit Problemen im Zahlenverständnis, zum Beispiel einer Dyskalkulie, denken oft nur mit ordinalen Vorstellungen. Für sie macht die Aufgabe 2+1 keinen anschaulichen Sinn. Siehe auch Dyskalkulie ↗

Der klassische Test, ob ein Kind zwischen kardinaler und ordinaler Zahlenvorstellung gut wechseln kann ist die Frage, was die Zahl 4 an einem Lineal bedeutet. In der ordinalen Vorstellung zeigen die Kinder auf die Strichmarke mit der 4 und sagen: "das ist die Zahl 4". Diese Vorstellung wird in der Schule oft dadurch gefestigt, dass Zahlen als Positionen auf einer Zahlengeraden dargestellt werden. Die kardinale Vorstellung von der 4 wäre: die vier Zentimeterstückchen von der 0 bis zur Zahl 4, oder alternativ: die Strecke von der 0 bis zur 4. Siehe dazu auch Lineal ablesen ↗

Kardinalzahlen in der höheren Mathematik


Eine Kardinalzahl ist „die Anzahl der Elemente einer […] Menge [1]“ oder anders gesagt: „Kardinalzahlen sind Mengen, die als Repräsentanten von Mengen einer bestimmten Größe dienen [2].“ In der höheren Mathematik wird die grundlegende Bedeutung von Kardinalität, nämlich die Idee des Wieviel, stark abstrahiert. Hier steht die Kardinalzahl für die Mächtigkeit von Mengen. Als Mächtigkeit von Mengen bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente. Die Menge aller Buchstaben in dem Wort OTTO ist 4. Die Mächtigkeit der Menge aller echten Planeten in unserem Sonnensystem ist 8 (Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun). Der Logiker Georg Canton (1845 bis 1918) entwickelte eine Methode, um auch für unendliche Mengen, also Mengen mit unendlichen vielen Elementen, verschiedene Mächtigkeiten angeben zu können. So kann man zum Beispiel fragen, ob es mehr rationale als natürliche Zahlen gibt. Die Mächtigkeit oder Kardinalität von uenendlichen Mengen bezeichnete Cantor mit dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets, dem Buchstaben Aleph ↗

Fußnote