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Umkehrfunktion

x und y vertauscht

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Basiswissen


f⁻¹: x und y vertauscht und dann nach x aufgelöst: so bildet man für eine gegebene Funktion f(x) die dazugehörige Umkehrfunktion. Diese Umwandlung ist aber nicht für alle Funktionstypen möglich. Hier stehen eine Anleitung sowie die anschauliche Bedeutung der Umkehrfunktion.

Beispiele


  • Man hat y = 4x-12
  • y meint dasselbe wie f(x).
  • Man hat also f(x) = 4x-12
  • Die Umkehrfunktion f⁻¹ ist dann f⁻¹(x) = 0,25+3

Umkehren


  • Anleitung:
  • Man vertauscht x und y in der Funktionsgleichung:
  • Das gibt: x = 4y-12
  • Dann nach y umstellen
  • Das gibt y = 0,25x+3
  • Das ist die Umkehrfunktion.

Umkehrbarkeit


  • Machbarkeit:
  • Nicht jede Funktion kann umgekehrt werden zu einer Umkehrfunktion.
  • Zur Erinnerung: bei einer Funktion darf jeder x-Wert nur genau einen zugeordneten y-Wert haben.
  • Das muss auch für die umgekehrte Funktion f⁻¹(x) gelten. Es gilt unter folgenden alternativen Voraussetzungen:
  • Der Graph von f(x) ist streng motonon steigend oder ...
  • Der Graph von f(x) ist streng monoton fallend.

Als Spiegelung


  • Anschaulich:
  • Gegeben ist eine ursprüngliche Funktion f(x) mit dem Graphen.
  • Man stellt man sich zusäztlich den Graphen einer Geraden g(x) = x vor.
  • Der Graph von g(x) = x geht durch (0|0) und halbiert den Winkel zwischen x- und y-Achse.
  • Man spiegelt jetzt den Graphen von f(x) an der Geraden g(x).
  • Das Ergebnis ist der Graph der Umkehrfunktion f⁻¹.

Als Rotation


  • Anschaulich:
  • Der Graph der Umkehrfunktion f⁻¹ kann auch durch eine gedachte Drehung erzeugt werden.
  • Man stellt sich den Graph von f(x) auf eine Glasplatte gezeichnet vor.
  • Die x-Achse liegt unten und geht von links nach rechts.
  • Die y-Achse liegt links und geht von unten nach oben.
  • Nun rotiert man die Platte so, dass die Achsen vertauscht werden.
  • Die x-Achse geht jetzt mit steigenden Werten von unten nach oben.
  • Die y-Achse geht jetzt mit steigenden Werten von links nach rechts.
  • Abschließend vertauscht man die Beschrift der Achsen:
  • Die untere horizontale Achse heißt wieder x-Achse.
  • Die linke vertikal Achse heißt wieder y-Achse.
  • Der jetzt sichtbare Graph ist der Graph von f⁻¹(x).


Synonyme