Umkehrfunktion x und y vertauscht Basiswissen f⁻¹: x und y vertauscht und dann nach x aufgelöst: so bildet man für eine gegebene Funktion f(x) die dazugehörige Umkehrfunktion. Diese Umwandlung ist aber nicht für alle Funktionstypen möglich. Hier stehen eine Anleitung sowie die anschauliche Bedeutung der Umkehrfunktion. Beispiele Man hat y = 4x-12 y meint dasselbe wie f(x). Man hat also f(x) = 4x-12 Die Umkehrfunktion f⁻¹ ist dann f⁻¹(x) = 0,25+3 Umkehren Anleitung: Man vertauscht x und y in der Funktionsgleichung: Das gibt: x = 4y-12 Dann nach y umstellen Das gibt y = 0,25x+3 Das ist die Umkehrfunktion. Mehr unter Umkehrfunktion bestimmen ↗ Umkehrbarkeit Machbarkeit: Nicht jede Funktion kann umgekehrt werden zu einer Umkehrfunktion. Zur Erinnerung: bei einer Funktion darf jeder x-Wert nur genau einen zugeordneten y-Wert haben. Das muss auch für die umgekehrte Funktion f⁻¹(x) gelten. Es gilt unter folgenden alternativen Voraussetzungen: Der Graph von f(x) ist streng motonon steigend oder ... Der Graph von f(x) ist streng monoton fallend. Als Spiegelung Anschaulich: Gegeben ist eine ursprüngliche Funktion f(x) mit dem Graphen. Man stellt man sich zusäztlich den Graphen einer Geraden g(x) = x vor. Der Graph von g(x) = x geht durch (0|0) und halbiert den Winkel zwischen x- und y-Achse. Man spiegelt jetzt den Graphen von f(x) an der Geraden g(x). Das Ergebnis ist der Graph der Umkehrfunktion f⁻¹. Als Rotation Anschaulich: Der Graph der Umkehrfunktion f⁻¹ kann auch durch eine gedachte Drehung erzeugt werden. Man stellt sich den Graph von f(x) auf eine Glasplatte gezeichnet vor. Die x-Achse liegt unten und geht von links nach rechts. Die y-Achse liegt links und geht von unten nach oben. Nun rotiert man die Platte so, dass die Achsen vertauscht werden. Die x-Achse geht jetzt mit steigenden Werten von unten nach oben. Die y-Achse geht jetzt mit steigenden Werten von links nach rechts. Abschließend vertauscht man die Beschrift der Achsen: Die untere horizontale Achse heißt wieder x-Achse. Die linke vertikal Achse heißt wieder y-Achse. Der jetzt sichtbare Graph ist der Graph von f⁻¹(x). Synonyme Inverse Funktion ↗ Umkehrfunktion ↗ f⁻¹ ↗ Ableiten über Umkehrregel [Anwendung] Umkehrfunktion bestimmen Funktion Umkehrfunktion auf Englisch Umkehrfunktion auf Wikipedia Zurück zur Startseite