Umkehrfunktion bestimmen

Anleitung

Basiswissen｜ Anleitung｜ Schritt 1: Umkehrbarkeit prüfen｜ Schritt 2: Umstellung｜ Schritt 3: Ergebnisfunktion｜ Schritt 4: Definitionsmenge｜ Schritt 5: Kontrolle｜ Beispiele｜ Aufgaben mit Lösungen｜ Fußnoten

Basiswissen

y = 4x-12 hat als Umkehrfunktion y = 0,25x+3. Um die Umkehrfunktion f⁻¹(x) zu bilden, vertauscht man erst x und y. Dann löst man die so entstandene Gleichung nach y auf. Das Ergebnis ist die Umkehrfunktion. Das kleine y steht hier auch für f(x). Hier wird nur erklärt, wie man eine Umkehrfunktion bestimmt.

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Schritt 1: Umkehrbarkeit prüfen

Nicht für jede Funktion kann man eine Umkehrfunktion bilden. Wenn eine Funktion ohne Lücken streng monoton fällt oder wächst, kann man in der Regel auch die Umkehrfunktion bilden. Das ist gleichbedeutend damit, dass die ursprüngliche Funktion bijektiv ist, was bedeutet, dass sie sowohl injektiv (jedem y -Wert wird höchstens ein x -Wert zugeordnet) als auch surjektiv (jedem y -Wert wird mindestens ein x -Wert zugeordnet) ist.

Jeder y-Wert hat mindestens einen x-Wert Surjektion ↗

Jeder y-Wert hat höchstens einen x-Wert Injektion ↗

Wenn diese Voraussetzungen gelten, kann man schreiben f(x) ist umkehrbar oder invertierbar. Die Umkehrfunktion f⁻¹(x) kann gebildet werden. Am Graphen kann man mit etwas Übung auch schon optisch erkennen, ob f(x) umkehrbar ist: man spiegelt den Graphen dazu an der Geraden y=x, die von links unten durch den Punkt (0|0) nach rechts oben im Koordinatensystem verläuft.

Schritt 2: Umstellung

Die Grundidee der eigentlichen Umformung ist es, dass man die Rollen von x und y in einer Gleichung vertauscht. Ist eine Funktion mit der Schreibweise f(x) bezeichnet, setzt man am Anfang erst y=f(x).^[2] Dann löst man die neu erhaltene Gleichung nach y auf, stellt sie also nach y um.

f(x) = 0,5x-12 | y=f(x)^[2]

y = 0,5x-12 | x und y vertauschen

x = 0,5y-12 | nach y umstellen

x = 0,5y-12 | +12

x+12 = 0,5y | :0,5

2x+24 = y | y nach links

y = 2x+24

Was man an dieser Stelle sicher beherrschen sollte ist das Umstellen einer Gleichung nach einer bestimmten Variablen. Zur Wiederholung siehe auch den Artikel (mit Übungsaufgaben) Formeln umstellen ↗

Schritt 3: Ergebnisfunktion

Im Zusammenhang mit Umkehrfunktionen gibt es verschiedene Schreibweisen. Weit verbreitet ist f⁻¹(x) zur Bezeichnung einer Umkehrfunktion. Aber auch φ(x) mit dem kleinen griechischen Phi kommt vor.^[1]

y = 2x+24 mit y=φ(x) ✔

f⁻¹(x) = 2x+24 ✔

φ(x) = 2x+24 ✔

Häufig wird für den Funktionsnahmen auch ein y verwendet. Dann wird aber immer deutlich gemacht, ob das y für die ursprüngliche Funktion f(x) oder für die Umkehrfunktion f⁻¹(x) oder φ(x) steht.

Schritt 4: Definitionsmenge

Es kommt vor, dass die Umkehrung einer ursprünglich gegebenen Funktion f(x) zunächst nicht zu einer eindeutigen neuen Funktion f⁻¹(x) oder φ(x). Man hat dann zwar auf jeden Fall eine Gleichung und auch eine Zuordnung. Es kann aber sein, dass der Graph der zunächst durch Vertauschung von x und y enstandenen Gleichung nicht der Graph einer Funktion ist. Das erkennt man daran, dass es bei f⁻¹(x) oder φ(x) zwei oder mehr Punkte gibt, die senkrecht übereinander liegen, also denselben x-Wert haben. Damit ist die Zuordnung nicht mehr eindeutig und deshalb auch keine Funktion mehr:

f(x) = x² | y=f(x)

y = x² | x und y vertauschen

x = y² | nach y umstellen

y = √(x)

Die Umkehrfunktion ist also die Wurzelfunktion. Die Wurzelfunktion ist aber nur für nicht-negative Radikanden definiert. (Der Radikand ist alles unter dem Wurzelzeichen.) Entsprechend gibt man dann für die Umkehrfunktion auch ihren Definitionsbereich D mit an:

f⁻¹(x) = √(x) mit D: x≥0 ✔

Man kann die Definitionsmenge selbst festlegen. Hat der Graph Bereiche, in denen er keine eindeutige Funktion darstellt, Bereiche also, in denen zwei oder mehr Punkt übereinander liegen, so kann man ihn bewusst aus der Definitionsmenge herausnehmen. Unter anderem auch typische Schreibweisen sind näher erklärt im Artikel Definitionsbereich ↗

Schritt 5: Kontrolle

Hat man aus f(x) eine Umkehrfunktion f⁻¹(x) oder φ(x) gebildet, kann man die Richtigkeit des Ergebnisses auf verschiedene Weisen überprüfen.

a) f⁻¹(x) darf keine zwei Punkte mit demselben x-Wert haben.

b) f⁻¹(x) darf keine zwei Punkte die übereinander liegen.

c) f⁻¹(x) ist die Spiegelung von f(x) an der Geraden y=x.^[1]

d) Man bildet die Umkehrfunktion von f⁻¹(x) und erhält wieder f(x).

Beispiele

f(x)=4 → keine Umkehrfunktion (konstant)

f(x)=4+x → f⁻¹(x)=x−4

f(x)=x → f⁻¹(x)=x

f(x)=1/x → f⁻¹(x)=1/x

f(x)=x² → f⁻¹(x) = √(x)

f(x)=4x → f⁻¹(x)=x/4

f(x)=4x² (x≥0) → f⁻¹(x)=√(x/4)=√x/2

f(x)=4x⁻² = 4/x² → ohne Bereichseinschränkung keine eindeutige Umkehr

f(x)=(x+4)² (x≥−4) → f⁻¹(x)=√x−4

f(x)=√x → f⁻¹(x)=x²

f(x)=tan(x) (−π/2

f(x)=sin(x) → f⁻¹(x)=arcsin(x) mit −π/2

f(x)=e^x → f⁻¹(x)=ln(x)

f(x)=log(x) → f⁻¹(x)=10^x

f(x)=ln(x) → f⁻¹(x)=e^x

f(x)=x·e^x → f⁻¹ existiert nur über die Lambert-W-Funktion (höhere Mathematik): f⁻¹(x)=W(x)

Aufgaben mit Lösungen

Bestimme für jede der 26 folgenden Funktionen f(x) ihre dazugehörige Umkehrfunktion f⁻¹(x). Überprüfe anhand des Graphen von f⁻¹(x) ob die gefundene Funktion auch tatsächlich eine Funktion ist: auf dem Graphen dürfen keine zwei Punkt übereinander liegen.

a) f(x)=3x+5.

b) f(x)=2x−7.

c) f(x)=−4x+1.

d) f(x)=0,5x−3.

e) f(x)=5x.

f) f(x)=−2x.

g) f(x)=x² mit D: x≥0

h) f(x)=4x² mit D: x≥0

i) f(x)=x²+3 mit D: x≥0

j) f(x)=2x²−1 mit D: x≥0

k) f(x)=√x.

l) f(x)=2√x.

m) f(x)=√(x+4).

n) f(x)=3√(x−2).

o) f(x)=2^x.

p) f(x)=3^x.

q) f(x)=e^x.

r) f(x)=ln(x).

s) f(x)=log₁₀(x).

t) f(x)=ln(x−2).

u) f(x)=e^(2x).

v) f(x)=1/(x−3).

w) f(x)=2/(x+1).

x) f(x)=(x−1)/(x+2).

y) f(x)=3/(2x−5).

z) f(x)=(2x+1)/3.

Lösungen

a) (x-5)/3 b) (x+7)/2 c) (1-x)/4 d) 2x+6 e) x/5 f) -x/2 g) √(x) h) √(x)/2 i) √(x-3) j) √((x+1)/2) k) x^2 l) x^2/4 m) x^2-4 n) x^2/9+2 o) log_2(x) p) log_3(x) q) ln(x) r) e^x s) 10^x t) e^x+2 u) (ln(x))/2 v) 3+1/x w) 2/x-1 x) (2x+1)/(1-x) y) (3+5x)/(2x) z) (3x-1)/2

Fußnoten

[1] "Das Kurvenbild der inversen Funktion y=φ(x) entsteht durch Spiegelung der Kurve von y=fx) an der Graden y=x." In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort im Kapitel "2.1.3.8 Inverse oder Umkehrfunktion", Seite 53.

[2] Die Gleichsetzung "y=f(x)" für die ursprüngliche Funktion und "x=f(y)" für die Umkehrfunktion findet man zum Beispiel in: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort im Kapitel "2.1.3.8 Inverse oder Umkehrfunktion", Seite 53.