Basiswissen

Unlösbare Gleichungen

• Beispiel: x+1 = x
  

• Kein Zahlenwert passt.
  

• Mehr unter unlösbare Gleichung ↗
  

Bestimmbare Gleichungen

• Beispiel: 4x+8 = 20
  

• Die Gleichung enthält mindestens eine Unbekannte.
  

• Man vermutet, dass eine Lösung existiert.
  

• Mehr unter Bestimmungsgleichung ↗
  

Gleichungen mit Identitäten

• Beispiel: 4·x = x+x+x+x
  

• Rechts und links vom Gleichheitsszeichen stehen äquivalente Terme.
  

• Das heißt: Man kann die Terme ineinande umformen.
  

• Solche Gleichungen gehen für alle Werte von x auf.
  

• Mehr unter Identitätsgleichung ↗
  

Funktionen als Gleichungen

• Beispiel: f(x) = x²-8x+15
  

• Gleichungen dienen auch zur Beschreibung von Funktionen.
  

• Auf der linken Seite steht dann oft f(x) statt y.
  

• Mehr unter Funktionsgleichung ↗
  

Konstante Gleichungen

• Beispiel: 15 = 11+4
  

• Es gibt keine Unbekannte.
  

• Mehr unter Konstante Gleichung ↗
  

Proportional Gleichungen

• Beispiel: 14 = 5·x
  

• Allgemein: y = m·x
  

• Das x ist nur mit einem Faktor m verbunden.
  

• Mehr unter Proportionale Gleichung ↗
  

Umgekehrt proportionale Gleichungen

• Beispiel: 24 = 72:x
  

• Das x steht im Nenner eines Bruches.
  

• Mehr unter Umgekehrt proportionale Gleichung ↗
  

Sehr einfache linear Gleichungen

• Beispiel: 4x+8 = 2x+6
  

• Das x ist mit Faktoren verbunden.
  

• Zusätzlich können noch Zahlen addiert oder subtrahiert werden.
  

• Mehr unter Sehr einfache lineare Gleichung ↗
  

Lineare Gleichungen mit Klammern

• Beispiel: 4·(x+2) = 20
  

• Das x steht in einer Klammer
  

• Mehr unter Lineare Gleichungen mit Klammern ↗
  

Linear Gleichungen [allgemein]

• Beispiel: 2x+1 = 3·(4x-5)-16
  

• Faktoren, Zahlen mit + und - sowie Klammern
  

• Mehr unter Lineare Gleichungen ↗
  

Quadratische Gleichungen

• Beispiel: 0 = 2x²-24x+70
  

• Das x kommt mindestens einmal als x² vor.
  

• Mehr unter Quadratische Gleichungen ↗
  

Kubische Gleichungen

• Beispiel: x³+2 = 29
  

• Das x kommt mindestens einmal als x³ vor.
  

• Mehr unter Kubische Gleichungen ↗
  

Quartische Gleichungen

• Beispiel: x^4 = 16
  

• x^4 steht für: x hoch 4
  

• Das x kommt mindestens einmal als x^4 vor.
  

• Mehr unter Quartische Gleichungen ↗
  

Biquadratische Gleichungen

• Beispiel: x^4 - x^2 = 72
  

• Das x kommt einmal als x^4 und einmal als x^2 vor.
  

• Die biquadratische Gleichung ist ein Sonderfall einer quartischen Gleichung.
  

• Mehr unter Biquadratische Gleichungen ↗
  

Ganzrationale Gleichungen

• Beispiel: 4 = 4x^5-3x^4+4x³-2x²-1x+15
  

• Plusminuskette aus Potenzen von x, Faktoren sind erlaubt.
  

• Mehr unter Ganzrationale Gleichungen ↗
  

Potenzgleichungen

• Beispiel: 16 = x³
  

• Das x wird hoch einer Zahl (natürlichen) gerechnet.
  

• Das ist ein (einfacher) Sonderfall einer ganzrationalen Gleichung.
  

• Mehr unter Potenzgleichungen ↗
  

Bruchgleichungen

• Beispiel: (x^2)/(x+1) = 2,25
  

• Das x steht im Nenner (unten) eines Bruches.
  

• Mehr unter Bruchgleichung ↗
  

Produktgleichungen

• Beispiel: (x+4)·(x-3) = 0
  

• Das x ist Teiler eines Produktes, oft in Klammern
  

• Mehr unter Produktgleichungen ↗
  

Verhältnisgleichungen

• Beispiel: x/4 = 10/2
  

• Auf beiden Seiten steht ein Verhältnis (Quotient, Bruch).
  

• Mehr unter Verhältnisgleichung ↗
  

Gebrochenrationale Gleichungen

• Beispiel: [x^2-4x+5]/[x^3] = 1
  

• Das x steht im Nenner eines Bruches.
  

• Mehr unter gebrochenrationale Gleichung ↗
  

Exponentielle Gleichungen

• Beispiel: 27 = 3^x
  

• Das x steht im Exponenten einer Potenz.
  

• Mehr unter Exponentialgleichung ↗
  

Wurzelgleichungen

• Beispiel: 10 = Wurzel aus (24+x)
  

• Das x steht unter einem Wurzelzeichen.
  

• Mehr unter Wurzelgleichung ↗
  

Logarithmusgleichungen

• Beispiel: lg(x-4) = 1000
  

• Das x steht im Numerus eines Logarithmus.
  

• Mehr unter Logarithmusgleichungen ↗
  

Diophantische Gleichungen

• Beispiel: x³+y³ = z³
  

• Als Lösungen sind nur natürliche Zahlen erlaubt.
  

• Eigenes Teilgebiet der Mathematik (Zahlentheorie).
  

• Mehr unter Diophantische Gleichungen ↗
  

Differentialgleichungen

• Eine Gleichung kann f'(x) und f(x) selbst enthalten.
  

• Die Lösung ist keine Zahl, sondern wieder eine Gleichung.
  

• Mehr unter Differentialgleichung ↗
  

Integralgleichungen

• Unbekannte kommt in Integralterm vor Integralgleichung ↗
  

Kreisgleichungen

• Beispiel x²+y² = 8
  

• Es kommen zwei Unbekannte vor.
  

• Man kann die Lösungspaare von x und y als Punkte deuten.
  

• Alle Lösungen zusammen ergeben dann eine Kreislinie.
  

• Mehr unter Kreisgleichungen ↗
  

Gleichungen in der praktischen Anwendung (Handwerk)

Gleichungen in der Chemie

• Siehe unter Reaktionsgleichungen ↗