Unlösbare Gleichung
Kein x-Wert passt
Basiswissen
Der Klassiker: die Gleichung x=x+1 ist unlösbar: sie geht für keine Zahl auf. Das heißt: es gibt keine Zahl, zu der man 1 hinzuaddieren kann und die sich dadurch nicht verändert. Unlösbare Gleichung spielen eine große Rolle in der Mathematik und Physik.
Definition
Eine Gleichung heißt unlösbar, wenn es für die Unbekannte - oft das x - keine Zahl gibt, die aus der Gleichung eine wahre Aussage macht. Mit anderen Worten: die Gleichung kann mit keinem x-Wert aufgehen. Mehr dazu unter Lösung einer Gleichung ↗
x=x+1 als Beispiel
x=x+1 ist eine unlösbare Gleichung. Es gibt keine Zahl, die man für x einsetzen kann sodass damit die Gleichung aufgeht. Weder die 0, die -1 oder sonsteine Zahl passen. Mehr zu dieser Gleichung unter x=x+1 ↗
pq-Formel als Beispiel
Quadratische Gleichungen wie 0 = x²+4x+8 kann man immer über die pq-Formel lösen. Gibt es eine Lösung, dann wird die pq-Formel sie finden. Wird aber der Radikand (der Term unter dem Wurzelzeichen) innerhalb der Formel negativ, dann hat die quadratische Gleichung keine Lösung. Mehr dazu unter Diskriminante bei pq-Formel ↗
Was sagt der Definitionsbereich über die Lösbarkeit?
- Gleichungen werden oft mit einem Definitionsbereich angegeben.
- Der Definitionsbereich gibt an, welche Zahlen als Lösung überhaupt erlaubt sein dürfen.
- Beispiel: 12 + x = 9 mit D = ℕ
- D = ℕ meint: Der Definitionsbereich sind die natürlichen Zahlen.
- Natürliche Zahlen sind die 1; 2; 3; 4; 5 und so weiter.
- Für natürliche Zahlen ist 12 + x = 9 nicht lösbar.
- Lässt man als Definitionsbereich D aber die ganzen Zahlen ℤ zu, ...
- dann wird die Gleichung lösbar: x = -3 ist dann eine Lösung.
- Siehe auch Zahlenbereiche ↗
Wie erkennt man die Lösbarkeit einer Gleichung?
Bei x=x+1 kann man auf beiden Seiten x abziehen und erhält dann: 0=1. Diese Gleichung 0=1 nennt man auch eine falsche Aussage. Kann man eine Gleichung in eine falsche Aussage umformen, dann war die ursprüngliche Gleichung nicht lösbar. Man sieht damit sehr schnell, dass die Gleichung nicht aufgeht. Historisch interessant sind Gleichungen, bei denen es Jahrhunderte dauert, bis man ihre Unlösbarkeit zuverlässig erkannt hatte. Ein Beispiel dafür ist die Fermatsche Vermutung ↗
Was kann man als Antwort schreiben?
- Man schreibt: "nicht lösbar" oder "keine Lösungsmenge".
- Man schreibt formal: L={}
- Siehe auch Leere Menge ↗
Weitere Beispiele
- In der Relativitätstheorie gibt es Gleichung, die unlösbar wird, wenn etwas schneller als Licht ist.
- Für die Fermatsche Gleichung brauchte über 300 Jahre, um zu beweisen, dass sie unlösbar ist.
- Solche und weitere Beispiele siehe unter unlösbare Gleichungen ↗
