Basiswissen

Über 300 Jahre haben sich hervorragende Mathematiker (und auch andere) daran abgemüht, nach einer Lösung für diese Gleichung zu suchen. Erst Ende des 20ten Jahrhunderts wurde dann bewiesen, dass die Gleichung unlösbar für n-Werte von mehr als 2 unlösbar ist.

Großer Fermatscher Satz

a^n = b^n + c^n

Legende

a steht für eine beliebige positive ganze Zahl.

b steht für eine beliebige positive ganze Zahl.

c steht für eine beliebige positive ganze Zahl.

n steht für eine positive ganze Zahl größer 2.

a^n ist dasselbe wie aⁿ, ^ ist ein Hochzeichen ↗

Anmerkung: die 0 ist keine positive Zahl.

Beispielhafter Lösungsversuch

Man betrachtet zum Beispiel n=3.

Das gibt die Gleichung: a³ = b³ + c³

Gibt es Zahlen für a, b und c, dass die Gleichung aufgeht?

1. Versuch: 2³ = 1³ + 1³ ⭢ geht nicht auf.

2. Versuch: 3³ = 2³ + 1³ ⭢ geht nicht auf.

3. Versuch: 4³ = 2³ + 3³ ⭢ geht nicht auf.

Vermutung: es gibt gar keine Lösung.^[2]

Einordnung

Die Gleichung ist von der Art her eine Diophantische Gleichung ↗

Die Gleichung ist eine Unlösbare Gleichung ↗

Eulers Vermutung

Im Jahr 1754 stellte Leonard Euler die Vermutung auf, dass auch für a^4+b^4+c^4=d^4 oder a^5+b^5+c^5+d^5=e^5 keine Lösung existiert. Viele Mathematiker hatten die Vermutung überprüft. Da die Zahlen zur Berechnung aber schnell sehr groß werden, war das in Zeiten ohne Computer eine mühselige Aufgabe. Erst im Jahr 1966, über zweihundert Jahre nach Eulers These fanden L. J. Lander und T. R. Parkin schließlich eine Lösung:^[2]

27^5+84^5+110^5+133^5=144^5

Eine falsche Vermutung kann also sehr lange eine falsche Vermutung bleiben. Widerlegt wurde die Vermutung durch ein Gegenbeispiel ↗

Fußnoten

[1] Packend geschrieben und auch für Laien der Mathematik mit Gewinn lesbar ist das Buch: Simon Singh: Fermats letzter Satz. Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. Deutscher Taschenbuch Verlag (dtv). ISBN: 3-446-19313-8. Speziell das Buch behandelt der Artikel Fermats letzter Satz ↗

[2] Dass es für a³+b³=c³ keine Lösung gibt, hatte Leonard Euler im Jahr 1753 bewiesen. In: David Acheson: 1089 oder Das Wunder der Zahlen. Eine Reise in die Welt der Mathematik. Im englischen Original: 1089 and all That. Journey into Mathematics. Oxford. 2002. Auf Deutscher herausgegeben vom Anaconda Verlag, 2002. Dort die Seiten 113 und 114.