WH54 Fachwortlexikon
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Diophantische Gleichung


Nur ganze Zahlen spielen eine Rolle


Basiswissen


In der Mathematik, Physik oder Chemie: kurze Erklärung von Fachworten, Symbolen und Formeln

Definition


◦ Es dürfen mehrere Unbekannte, wie x, y und z vorkommen.
◦ Die Unbekannten stehen nur im Zähler, nie im Nenner.
◦ Die Unbekannten dürfen mit beliebigen ganzen Zahlen multipliziert werden.
◦ Man sagt: es sind nur ganzzahlige Koeffizienten erlaubt.
◦ Die Variablen dürfen hoch irgendeiner natürlichen Zahl gerechnet werden.
◦ Man sagt: es sind nur natürlichzahlige Exponenten der Unbekannten erlaubt.
◦ Als Lösungen werden nur ganze Zahlen erlaubt.

Beispiele


◦ x+y=10
◦ Mögliche Lösung: x=4 und y=6
◦ Mögliche Lösung: x=1 und y=9
◦ Mögliche Lösung: x=12 und y=-2
◦ Nicht erlaubt: x=9,5 und y=0,5
◦ Mehr => Diophantische Gleichungen

Sinn


Die Einschränkung, dass man nur ganzzahlige Lösungen erlaubt macht immer dann Sinn, wenn die Fragestellung aus der Wirklichkeit keine Stückelung kleiner als Eins erlaubt. So wäre es sinnlos, bei einer Gleichung zur Berechnung der Anzahl von Fahrgästen in einem Fahrstuhl die Lösung 1,3 zu akzeptieren. Akzeptabel wäre die 1 oder 2.

Besonderheit


Es ist unmöglich, mit einem sicheren Verfahren festzustellen, ob eine beliebige diophantische Gleichung überhaupt eine Lösung hat. Dies wurde 1970 von dem Russen Matijassewitsch bewiesen. Die berühmteste aller diophantischen Gleichungen ist der große Fermatsche Satz. Mehr dazu unter => diophantische Unentscheidbarkeit

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