Basiswissen

Als Zahlentheorie bezeichnet man ein Teilgebiet der Mathematik, das sich nur mit ganzen Zahlen (ℤ) oder noch enger gefasst nur mit natürlichen Zahlen (ℕ) beschäftigt^[1]^[2]. Speziell die „elementare Zahlentheorie befasst sich mit den Teilbarkeitseigenschaften der ganzen Zahlen^[1]“. Viele Probleme werden erst dadurch zu einem schweren Problem, dass echte Kommazahlen sozusagen verboten sind.

Beispiele

Chowla-Vermutung

Für jede natürliche Zahl kann man herausfinden, ob die Anzahl ihrer Primfaktoren gerade oder ungerade ist. Die Zahl 8 zum Beispiel kann als Malkette aus Primfaktoren geschrieben werden als 1·2·2·2. Das sind insgesamt 4 Primfaktoren. Die Zahl 9 kann man schreiben als 1·3·3. Das sind drei Primfaktoren. Nun ordnete man jeder Zahl mit einer geraden Anzahl von Primfaktoren die 1 zu, jeder Zahl mit einer ungeraden Anzahl von Primfaktoren die Zahl -1. Die 1 und die -1 sind dann die zwei einzig möglichen Funktionswerte der sogenannten Liouville-Funktion. Die Chowla-Vermutung besagt dann, dass man vom Funktionswert einer Zahl nicht statistisch zuverlässig auf den Funktionswert einer Nachbarzahl schließen kann. Siehe mehr unter Chowla-Vermutung ↗

Collatz-Problem

Beginne mit irgendeiner natürlichen Zahl n > 0.

Ist n gerade, so nimm als nächste Zahl: n / 2

Ist n ungerade, so nimm als nächstes Zahl: 3·n + 1

Wiederhole die Vorgehensweise mit der erhaltenen Zahl.

Man endet früher oder später immer bei 4; 2; 1.

Dieses Triplet wird sich dann ewig wiederholen.

Mehr unter Collatz-Problem ↗

Goldbachsche Vermutung

Jede ungerade Zahl größer als 5 kann als Summe von genau drei Primzahlen. Beispiel: die ungerade Zahl 7 ist die Summe der drei Primzahlen 2, 2 und 3. Die ungerade Zahl

Fußnoten

[1] Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort die Seite 379. Siehe auch Der Bronstein ↗

[2] Bereits in einem Lexikon aus dem Jahr 1904 heißt es übereinstimmend mit der heute üblichen Auffassung: "Höhere Arithmetik oder Zahlentheorie heißt die Lehre von den ganzen Zahlen, ihren Teilbarkeitseigenschaften und ihrer Darstellung durch algebraische Formen." In: Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 1 Stuttgart, Leipzig 1904., S. 297-298. Online: http://www.zeno.org/nid/20005958121

[3] Hermann Minkowski: Diophantische Approximationen. Eine Einführung in die Zahlentheorie. Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin. 1907.