Basiswissen

Im Jahr 1742 schrieb der Mathematiker Christian Goldbach in einem Brief^[1] eine Vermutung auf, die bis heute nicht bewiesen ist. Mit Computern kann man zwar die Gültigkeit bis zu sehr großen Zahlen durch Nachrechnen übrprüfen. Das gibt aber keine abschließende Sicherheit, dass man nicht bei höheren Zahlen eine Ausnahme findet.

Original

Es lohnt sich immer wieder die historischen Geburtsmomente großer Ideen aufzusuchen. Christian Goldbach wurde im Jahr 1690 in der damals ostpreußischen Stadt Königsberg geboren. Gestorben ist er 1764 in Moskau. In seiner Lebenszeit lag der Siebenjährige Krieg von 1756 bis 1763, in dem die Länder Preußen und Rußland eine zeitlang erbitterte Feinde waren. Im Alter von etwa 52 Jahren schrieb Goldbach aus Moskau an den großen Mathematiker Leonhard Euler (1707 bis 1793):

ZITAT:

"Es scheinet wenigstens, dass jede Zahl, die größer ist als 1, ein aggregatum trium numerorum primorum sey"^[1]

Latein war damals ähnlich wie heute Englisch zumindest für gebildete Personen Teil der Alltagssprache.^[4] Zu dem Zitat müssen zwei wichtige Anmerkungen gemacht werden: a) man zählte damals die Zahl 1 - anders als heute - noch zu den Primzahlen.^[2] Und Goldach hat "übersehen", dass die Zahl 2 nur als Summe von zwei so gedachten, nicht als Summe von drei Primzahlen dargestellt werden kann, nämlich als 1+1. Für alle Zahlen oberhalb der Zahl 2 aber trifft der authentische Satz von Goldbach auch in seiner heutigen Form zu.

Die starke Goldbachsche Vermutung

Jede gerade Zahl größer als 2 kann als Summe von zwei Primzahlen geschrieben werden.

Jede der verwendeten Primzahlen darf dabei auch mehrfach benutzt werden.^[3]

Beispiele

4 = 2+2

6 = 3+3

8 = 5+3

10 = 7+3

12 = 7+5

14 = 11+3

16 = 13+3

18 = 13+5

20 = 17+3

Die schwache Goldbachsche Vermutung

Jede ungerade Zahl größer als fünf ist die Summe von drei Primzahlen.

Jede der verwendeten Primzahlen darf dabei auch mehrfach benutzt werden.^[3]

Beispiele

7 = 2+2+3

9 = 3+3+3

11 = 3+3+2

13 = 7+3+3

15 = 7+7+1

17 = 7+7+3

19 = 7+7+5

Als Forschungsfrage

Es mag verwundern, aber die Mathematik zählt zu den Fachgebieten mit einer großen Anzahl ungelöster Forschungsfragen. Die Goldbachsche Vermutung gehört dazu. Die Vermutung ist bis hin zu sehr großen Zahlen mit Hilfe von Computern bestätigt. Aber das gibt keine Sicherheit, dass man nicht irgendwo plötzlich eine Ausnahme findet. Siehe auch Forschungsfragen ↗

Persönliche Anmerkung

Seit dem Jahr 2005 unterrichte ich unter anderem auch hochbegabte Schüler in Mathematik. Und abgesehen von einer Hochbegabung begegnen mir auch immer wieder hochinteressierte Schüler mit einer großen Vorliebe für minimalistisch formulierbare Probleme mit reichhaltigen Folgerungen. Die Zahlentheorie ist ein vielversprechendes Fundgebiet für geeigneten Stoff. Mit wenig Wissen und kaum Lernen kann man schnell tiefgründige und aktuelle Probleme verstehen und bearbeiten. Wer nach Fragestellungen für hochbegabte und hochinteressierte Schüler mit Hang zu selbständiger Kreativität sucht, könnte bei der Zahlentheorie mehrfach fündig werden.

Fußnoten

[1] Der historisch originale Brief Goldbachs ist archivirt in: Letter XLIII, Goldbach to Euler". Correspondence of Leonhard Euler. Mathematical Association of America. 7 June 1742.

[2] Spektrum Lexikon der Mathematik. Dort der Eintrag "Goldbach-Vermutungen". Abgerufen am 8. November 2025. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/goldbach-probleme/3539

[3] Dass verwendete Primzahlen mehrfach vorkommen dürfen, kann man in Goldbachs Brief von 1742 selbst nachvollziehen. Er schreibt dort gut leserlich als Beispiele etwa auf: 5=1+1+3 und 6=1+1+1+3.

[4] Goldbach war nicht nur mathematisch begabt. Er sprach auch mehrere Sprachen und nutzte sie in seinem Briefen: Deutsch, Latein, Französisch, Italienisch und Russisch. In: Adolf Juskevic, Judith Kopelevic: Christian Goldbach 1690-1764 (Vita Mathematica), Birkhäuser Publishing House, 1994, ISBN 3764326786, pg. XII.