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Liouville-Funktion

Zahlentheorie

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Definition｜ Beispiele｜ Was ist die Chowla-Vermutung｜ Tipps


Definition


Die Liouville-Funktion λ(n) ordnet jeder natürlichen Zahl entweder eine 1 oder eine -1 zu. Die -1 steht für eine ungerade Anzahl von Primfaktoren, die 1 steht für eine gerade Anzahl von Primfaktoren. Kommt ein Primfaktor in der Primfaktorzerlegung mehrfach vor, wird er auch mehrfach gezählt. Die Zahl 1 ist keine Primzahl und sie zählt auch nicht als Primfaktor mit.

Beispiele


  • Die 0 hat per Definition: 0 ⭢ Funktionswert ⭢ 0
  • Die 1 hat per Definition: 1 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 2 hat die Primfaktoren: 2 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 3 hat die Primfaktoren: 3 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 4 hat die Primfaktoren: 2;2 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 5 hat die Primfaktoren: 5 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 6 hat die Primfaktoren: 2;3 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 7 hat die Primfaktoren: 7 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 8 hat die Primfaktoren: 2;2;2 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 9 hat die Primfaktoren: 3;3 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 10 hat die Primfaktoren: 2;5 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 11 hat die Primfaktoren: 11 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 12 hat die Primfaktoren: 2;2;3 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 13 hat die Primfaktoren: 13 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 14 hat die Primfaktoren: 2;7 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 15 hat die Primfaktoren: 3;5 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 16 hat die Primfaktoren: 2;2;2;2 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 17 hat die Primfaktoren: 17 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 18 hat die Primfaktoren: 2;3;3 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 19 hat die Primfaktoren: 19 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 20 hat die Primfaktoren: 2;2;5 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 21 hat die Primfaktoren: 3;7 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 22 hat die Primfaktoren: 2;11 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 23 hat die Primfaktoren: 23 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 24 hat die Primfaktoren: 2;2;2;3 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 25 hat die Primfaktoren: 5;5 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 26 hat die Primfaktoren: 2;13 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 27 hat die Primfaktoren: 3;3;3 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 28 hat die Primfaktoren: 2;2;7 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 29 hat die Primfaktoren: 29 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 30 hat die Primfaktoren: 2;3;5 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 31 hat die Primfaktoren: 31 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 32 hat die Primfaktoren: 2;2;2;2;2 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 33 hat die Primfaktoren: 3;11 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 34 hat die Primfaktoren: 2;17 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 35 hat die Primfaktoren: 5;7 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 36 hat die Primfaktoren: 2;2;3;3 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 37 hat die Primfaktoren: 37 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 38 hat die Primfaktoren: 2;19 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 39 hat die Primfaktoren: 3;13 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 40 hat die Primfaktoren: 2;2;2;5 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 41 hat die Primfaktoren: 41 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 42 hat die Primfaktoren: 2;3;7 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 43 hat die Primfaktoren: 43 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 44 hat die Primfaktoren: 2;2;11 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 45 hat die Primfaktoren: 3;3;5 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 46 hat die Primfaktoren: 2;23 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 47 hat die Primfaktoren: 47 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 48 hat die Primfaktoren: 2;2;2;2;3 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 49 hat die Primfaktoren: 7;7 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 50 hat die Primfaktoren: 2;5;5 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 51 hat die Primfaktoren: 3;17 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 52 hat die Primfaktoren: 2;2;13 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 53 hat die Primfaktoren: 53 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 54 hat die Primfaktoren: 2;3;3;3 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 55 hat die Primfaktoren: 5;11 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 56 hat die Primfaktoren: 2;2;2;7 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 57 hat die Primfaktoren: 3;19 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 58 hat die Primfaktoren: 2;29 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 59 hat die Primfaktoren: 59 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 60 hat die Primfaktoren: 2;2;3;5 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 61 hat die Primfaktoren: 61 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 62 hat die Primfaktoren: 2;31 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 63 hat die Primfaktoren: 3;3;7 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 64 hat die Primfaktoren: 2;2;2;2;2;2 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 65 hat die Primfaktoren: 5;13 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 66 hat die Primfaktoren: 2;3;11 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 67 hat die Primfaktoren: 67 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 68 hat die Primfaktoren: 2;2;17 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 69 hat die Primfaktoren: 3;23 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 70 hat die Primfaktoren: 2;5;7 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 71 hat die Primfaktoren: 71 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 72 hat die Primfaktoren: 2;2;2;3;3 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 73 hat die Primfaktoren: 73 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 74 hat die Primfaktoren: 2;37 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 75 hat die Primfaktoren: 3;5;5 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 76 hat die Primfaktoren: 2;2;19 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 77 hat die Primfaktoren: 7;11 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 78 hat die Primfaktoren: 2;3;13 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 79 hat die Primfaktoren: 79 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 80 hat die Primfaktoren: 2;2;2;2;5 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 81 hat die Primfaktoren: 3;3;3;3 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 82 hat die Primfaktoren: 2;41 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 83 hat die Primfaktoren: 83 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 84 hat die Primfaktoren: 2;2;3;7 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 85 hat die Primfaktoren: 5;17 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 86 hat die Primfaktoren: 2;43 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 87 hat die Primfaktoren: 3;29 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 88 hat die Primfaktoren: 2;2;2;11 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 89 hat die Primfaktoren: 89 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 90 hat die Primfaktoren: 2;3;3;5 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 91 hat die Primfaktoren: 7;13 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 92 hat die Primfaktoren: 2;2;23 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 93 hat die Primfaktoren: 3;31 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 94 hat die Primfaktoren: 2;47 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 95 hat die Primfaktoren: 5;19 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
  • Die 96 hat die Primfaktoren: 2;2;2;2;2;3 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 97 hat die Primfaktoren: 97 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 98 hat die Primfaktoren: 2;7;7 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
  • Die 99 hat die Primfaktoren: 3;3;11 ⭢ Funktionswert ⭢ -1

Was ist die Chowla-Vermutung


Die Chowla-Vermutung besagt, dass die Funktionswerte der Liouville Funktion statistisch nicht zwischen benachbarten Zahlen korrelieren. Anders gesagt: ob eine Zahl den Funktionswert -1 oder 1 hat ist nicht statistisch abhängig davon, welchen Funktionswert die Nachbarzahlen haben. Die Vermutung gilt als weder bewiesen noch widerlegt. Lies mehr unter Chowla-Vermutung ↗

Tipps


Um an die Anzahl der Primfaktoren einer Zahl zu gelangen kann man die sogenannte Primfaktorzerlegung anwenden. Kommt dabei ein Primfaktor mehrfach vor, wird er auch mehrfach gezählt. Lies mehr unter Primfaktorzerlegung ↗


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