Omega-Funktion

Mathematik

Basiswissen｜ ω(n) und Ω(n) der Zahlentheorie｜ ω(n)｜ Ω(n)｜ Interessante Fälle｜ Quaestiones｜ Fußnoten

Basiswissen

Als Omega-Funktion oder Lambert-Funktion bezeichnet man zum einen die Umkehrfunktion von f(x)=x·eˣ. Desweiteren kann man auch die Funktionen ω(n) und Ω(n) als Omega-Funktionen im Sinne der Zahlentheorie bezeichnen. Hier werden die zwei Funktionen aus der Zahlentheorie kurz vorgestellt.

ω(n) und Ω(n) der Zahlentheorie

ω(n) und auch Ω(n) sind zwei verschiedene aber eng miteinander verwandte Funktionen aus der sogenanten Zahlentheorie. Beide Funktionen sind nur für positive und natürliche Zahlen definiert. Als Funktionsargumente (was mein einsetzt) kommen also nur die Zahlen 1, 2, 3, 4 und so weiter in Betracht.^[2]

ω(n) ordnet jeder positiven und natürlichen Zahl n die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren in ihrer Primfaktorzerlegung zu. Dabei wird die 1 als Faktor nicht mitgezählt. Ω(n) macht dasselbe, zählt aber mehrfach in einer Primfaktorzerlegung vorkommende gleiche Faktoren auch mehrfach. Das ω ist das kleine griechische Omega, Ω das große griechische Omega.

ω(n)

Die Funktion ω(n) gibt zu jeder natürlichen Zahl sowie der Zahl 0 an, wie viele verschiedene Primfaktoren in der Primfaktorzerlegung enthalten sind:

ω(1) = 0 Primfaktorzerlegung: keine^[3]

ω(2) = 1 Primfaktorzerlegung: 2

ω(3) = 1 Primfaktorzerlegung: 3

ω(4) = 1 Primfaktorzerlegung: 2·2

ω(5) = 1 Primfaktorzerlegung: 5

ω(6) = 2 Primfaktorzerlegung: 2·3

ω(7) = 1 Primfaktorzerlegung: 7

ω(8) = 1 Primfaktorzerlegung: 2·2·2

ω(9) = 1 Primfaktorzerlegung: 3·3

ω(10) = 2 Primfaktorzerlegung: 2·5

ω(11) = 1 Primfaktorzerlegung: 11

ω(12) = 2 Primfaktorzerlegung: 2·2·3

ω(13) = 1 Primfaktorzerlegung: 13

ω(14) = 2 Primfaktorzerlegung: 2·7

ω(15) = 2 Primfaktorzerlegung: 3·5

ω(16) = 1 Primfaktorzerlegung: 2·2·2·2

ω(17) = 1 Primfaktorzerlegung: 17

ω(18) = 2 Primfaktorzerlegung: 2·3·3

ω(19) = 1 Primfaktorzerlegung: 19

ω(20) = 2 Primfaktorzerlegung: 2·2·5

ω(21) = 2 Primfaktorzerlegung: 3·7

ω(22) = 2 Primfaktorzerlegung: 2·11

ω(23) = 1 Primfaktorzerlegung: 23

ω(24) = 2 Primfaktorzerlegung: 2·2·2·3

ω(25) = 1 Primfaktorzerlegung: 5·5

ω(26) = 2 Primfaktorzerlegung: 2·13

ω(27) = 1 Primfaktorzerlegung: 3·3·3

ω(28) = 2 Primfaktorzerlegung: 2·2·7

ω(29) = 1 Primfaktorzerlegung: 29

ω(30) = 3 Primfaktorzerlegung: 2·3·5

Eine logische Konsequenz aus dieser Definition ist, dass man für ω(n) = 1 sofort folgern kann, dass n eine Primzahl sein muss. Wenn nämlich der Funktionswert für ω genau 1 ist, dann heißt das, dass es nur eine einzige Zahl in "Malkette" für die Primfaktorzerlegung gibt. Und das ist nur für die Primzahlen selbst möglich.

Ω(n)

Ω(1) = 0 Primfaktorzerlegung: keine

Ω(2) = 1 Primfaktorzerlegung: 2

Ω(3) = 1 Primfaktorzerlegung: 3

Ω(4) = 2 Primfaktorzerlegung: 2·2

Ω(5) = 1 Primfaktorzerlegung: 5

Ω(6) = 2 Primfaktorzerlegung: 2·3

Ω(7) = 1 Primfaktorzerlegung: 7

Ω(8) = 3 Primfaktorzerlegung: 2·2·2

Ω(9) = 2 Primfaktorzerlegung: 3·3

Ω(10) = 2 Primfaktorzerlegung: 2·5

Ω(11) = 1 Primfaktorzerlegung: 11

Ω(12) = 3 Primfaktorzerlegung: 2·2·3

Ω(13) = 1 Primfaktorzerlegung: 13

Ω(14) = 2 Primfaktorzerlegung: 2·7

Ω(15) = 2 Primfaktorzerlegung: 3·5

Ω(16) = 4 Primfaktorzerlegung: 2·2·2·2

Ω(17) = 1 Primfaktorzerlegung: 17

Ω(18) = 3 Primfaktorzerlegung: 2·3·3

Ω(19) = 1 Primfaktorzerlegung: 19

Ω(20) = 3 Primfaktorzerlegung: 2·2·5

Ω(21) = 2 Primfaktorzerlegung: 3·7

Ω(22) = 2 Primfaktorzerlegung: 2·11

Ω(23) = 1 Primfaktorzerlegung: 23

Ω(24) = 4 Primfaktorzerlegung: 2·2·2·3

Ω(25) = 2 Primfaktorzerlegung: 5·5

Ω(26) = 2 Primfaktorzerlegung: 2·13

Ω(27) = 3 Primfaktorzerlegung: 3·3·3

Ω(28) = 3 Primfaktorzerlegung: 2·2·7

Ω(29) = 1 Primfaktorzerlegung: 29

Ω(30) = 3 Primfaktorzerlegung: 2·3·5

Interessante Fälle

Betrachten wir die Zahl 56595. Ihre Primfaktorzerlegung ist 3·5·7·7·7·11. Die Idee zu dieser Zahl war, dass man sich zunächst einige Primzahlen willkürlich ausdenkent, etwa die 3, 5, 7 und 11. Dann baut man sich Malketten aus diesen Primzahlen. Dabei dürfen die verwendeten Zahlen auch mehrfach vorkommen. Für die Zahl 56959 gilt dann:

ω(56595) = 4

Ω(56595) = 6

Und für die Zahl 256, die man schreiben kann als 2⁸, also als eine Malkette auch insgesamt acht Zweiern gilt:

ω(256) = 2

Ω(256) = 8

Man sieht also, dass die Funktionswerte beider Funktionen über kleine Zahlen hinausgehen können. Nehmen wir nun eine sehr viel größere Zahl u, die aber zunächst unbekannt ist:

ω(u) = 4

Ω(u) = 11

Könnte man aus dem Wissen, dass ω(u) = 4 und Ω(u) = 11 gelten, eindeutig auf die noch Unbekannte Zahl u schließen? Falls ja, sollte s nur eine einzige Zahl geben, auf die die zwei Bedingungen passen. Kann man aber verschiedene Zahlen für u finden, auf die die Bedingungen passen, dann ist der Schluss von den bekannten Werten für ω(u) und Ω(u) auf u nicht eindeutig.^[4]

Quaestiones

Mit Stand vom November 2025 konnte ich für die zwei Funktionen ω(n) und Ω(n) keine sprachliche Benennungen finden. Auch eine sprachliche Unterscheidung, etwa in kleine oder große Omega-Funktion konnte ich folgerichtigerweise nicht finden. Im Englischen spricht fasst man beide Funktionen zusammen als prime omega function. Das Polnische kennt die Funkcja pierwsza omega und das Türkische die Asal omega fonksiyonu. Gibt es entsprechende Worte auch im anerkannten deutschen Sprachschatz der Mathematik?

Fußnoten

[1] Helmut Maier, Peter Reck: Vorabskript zur Vorlesung Analytische Zahlentheorie. Wintersemester 2015/16. Universität Ulm. Dort im "Kapitel 1 Siebmethoden und elementare Primzahltheorie", Seite 3. Online: https://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.zawa/lehre/1516azt/Skript.pdf

[2] For a positive integer n we denote as usual by the number of distinct prime factors of n and by the total number of prime factors of n counting multiplicities. These classical prime factor counting functions have many relations in classical and analytic number theory" In: Kohnen, W. A simple note on the number-theoretic function and Dirichlet L-functions. European Journal of Mathematics 9, 33 (2023). Online: https://doi.org/10.1007/s40879-023-00629-w

[3] Dass für die Zahl 1 als Funktionsargument ω(1) = 0 gilt, ist implizit mit einer Angabe der Zahlenreihe auf der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences ausgesagt. Für die ersten natürlichen Zahlen, beginnen mit n=1, lauten die Funktionswerte: 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 3, 2. Abgerufen am 8. November 2025. Online: https://oeis.org/A001221

[4] Die Primfaktorzerlegung für die Zahl 50556540125 ist: 5 mal 5 mal 5 mal 7 mal 7 mal 13 mal 13 mal 13 mal 13 mal 17 mal 17.