Basiswissen

Wenn eine Primzahl einmal oder mehrmals ohne Rest in einer anderen Zahl steckt, dann ist sie ein Primfaktor dieser Zahl. Die Primzahl 5 steckt ohne Rest in der 40. Also ist die 5 ein Primfaktor von der 40. Die Primzahl 17 geht genau zweimal in die 34. Also ist die 17 ein Primfaktor von der 34. Die Primzahl 2 steckt genau 8 mal in der 16. Also ist die Zwei ein Primfaktor von der 16.

Definition

Dass man jede Zahl ab der Zahl 2 aufwärts in eine Malkette aus Primzahlen zerlegen kann, bezeichnet man als Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie. Der Satz lautet:

DEFINITION:

"Jede natürliche Zahl n > 1 [größer als Eins] kann man als Produkt von Primzahlen darstellen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren. Man sagt, dass n genau eine Primfaktorenzerlegung besitzt"^[1]

Dass die Darstellung eindeutig bis auf die Reihenfolge ist, kann man leicht an einem Beispiel verstehen. Die Zahl 12 kann man als Produkt von Primzahlen schreiben. Eine Möglichkeit ist: 2·2·3. Andere Möglichkeiten sind 3·2·2 oder auch 2·3·2. Über verschiedene Reihenfolgen wird die Primfaktorzerlegung mehrdeutig. Betrachtet man aber nur die Primfaktoren selbst, unabhängig von ihrer Reihenfolge, dann ist die Primfaktorzerlegung eindeutig.

Fußnoten

[1] Zur Definition: "Jede natürliche Zahl n > 1 [größer als Eins] kann man als Produkt von Primzahlen darstellen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren." Beachte, dass bei dieser Definition die Zahl 1, die ja nicht als Primzahl gilt, auch nicht zu den Primfaktoren zählt. In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort im Kapitel "5.4 Elementare Zahlentheorie", Seite 380.