Basiswissen

4² = 1 + 3 + 5 + 7 ist ein Beispiel: das Quadrat von n ist die Summe der n ersten ungeraden Zahlen. Dieser Satz kann bewiesen werden und gilt für alle Quadratzahlen. Dieser Satz von der Summe ungerader Zahlen ist ein einfaches Beispiel für die sogenannten Zahlentheorie. Schon Kinder in der Grundschule können darüber eine erste Idee mathematischer Beweise bekommen.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Mit dieser Anordnung von Holzwürfeln arbeitete ein Schüler der dritten Klasse über gut eine Stunde mit dem Odd number theorem. Vor allem die Rolle des Buchstaben n ist nicht leicht zu verstehen. Die Frage war, ob man aus den Steinhaufen rechts interessante Figuren legen konnte. Ausprobiert wurden Dreiecke, Vierecke, Türme und viele andere Formen.☛

Beispiele

1² = 1 = 1
2² = 1 + 3 = 4
3² = 1 + 3 + 5 = 9
4² = 1 + 3 + 5 + 7 = 16
5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Man kann also sagen: wenn man die ersten n ungeraden Zahlen, beginnend mit der 1, aufaddiert, dann ist die Summe immer gleich dem Produkt von n mit sich selbst, also n·n. Dieses Produkt nennt man auch n-Quadrat oder kurz n².

Die interessante Frage ist, ob das immer so weiter geht. Wenn die Regel steht, dann müsste für n = 6 gelten: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36. Ist das so? Es ist offensichtlich nicht möglich, das für alle möglichen Zahlen bis in die Unendlichkeit zu probieren. Man hat einfach nicht die Zeit dazu. Könnte man es trotzdem irgendwie überprüfen? Ja, mit einem sogenannten Beweis.

Beweis ins Unendliche

Eine anschauliche Erklärung, wie der Effekt entsteht geht über Quadrate, die man zeichnet. Ich zeichne hier nur ein Bild. Die schwarzen und die weißen Kreise geben zusammen immer ein Quadrat.

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Mit etwas Überlegen kommt man von alleine dahinter, was dieses Bild mit dem Odd Number Theorem zu tun hat.^[2] Der Satz lässt sich auch formal beweisen, also für alle Quadratzahlen die es überhaupt gibt. Das Beweisverfahren dazu ist die sogenannte 👉 vollständige Induktion

Gibt es eine Formel?

Eine andere interessante Frage ist, ob man einen einfachen Rechenweg finden kann, sodass man nicht immer alle Zahlen aus der Reihe aufaddieren muss. Wenn man zum Beispiel die ersten 12 ungeraden Zahlen aufaddiert, muss man 11 Additionen rechnen:

n=12: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 144

Hier wäre n = 12. Das sagt nur, dass man die ersten 12 ungeraden Zahlen aufaddieren möchte. Muss man wirklich all die Plusrechnungen machen? Das wäre mit n = 999 schon sehr lästig. Oder gibt es eine Abkürzung? Ich möchte die Frage hier nicht beantworten. Aber zumindest kann ich sagen, dass diese Art zu Fragen zu einer berühmten Anekdote gehört. Siehe dazu 👉 Gaußsche Summenformel

Mathematik für Hochbegabte

Ich habe das Odd number theorem mit mehreren Kindern mit einer festgestellten Hochbegabung besprochen. Sie hatten alle Freude daran und beschäftigten sich lange Zeit damit. Hier sind einige Tipps aus diesen Stunden.

Die Zahlenmuster mit ausreichend vielen Gegenständen legen

Eine große Tafel oder auf den Tisch geklebtes Packpapier als Zeichenfläche

Viel über die Rolle des n sprechen, die Wendung "das n-te" ins Spiel bringen

Überhaupt viel Zeit auf die Versprachlichung verwenden,

Eine große freie Tischfläche, auf der viele (hunderte) Würfel liegen und eine große aus Packpapier aufgeklebte Zeichenfläche sind immer ein guter Anfang. Große leere Flächen und simples Material scheinen gut für kreatives Denken zu sein.

Gibt es ein Even number theorem?

Eine weitere interesssante Frage ist, ob es einen solchen Satz, ein Muster, auch für die Summe der ersten n geraden Zahl gibt. Ich habe einmal die Liste angefangen:

n=1: 2 = 2

n=2: 2 + 4 = 6

n=3: 2 + 4 + 6 = 12

n=4: 2 + 4 + 6 + 8 = 20

n=5: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

n=6: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42

Ist an der Zahlenfolge 2, 6, 12, 20, 30, 42 irgendetwas Besonderes? Gibt es nicht nur ein Odd Number Theorem sondern auch ein Even number theorem? (Even ist englisch für gerade). Das sind die typischen Fragen, mit denen sich Mathematiker manchmal über Jahrhunderte oder Jahrtausende beschäftigen können, bevor dann irgenwann jemand eine Lösung hat. Oder jemand kann beweisen, dass es kein Muster gibt.

Im März 2026 ging ich dieser Frage nach einem möglichen Even number theorem mit Leo Riihijärvi aus der dritten Klasse nach. Er fand am Ende die Regel, dass der letzte Summand in einer Pluskette mit n Summanden immer dasselbe ist wie n+n oder 2n. Damit hatte Leo einen Rechenweg gefunden, mit dem man sofort den letzten Summanden berechnen kann, ohne dass man jeden einzelnen Summanden davor berechnen muss. Das ist die Kernidee für eine 👉 explizite Folge

Und zusammen fanden wir heraus, dass man aus der Summe aller Steine, also den Zahlen 6, 12, 20, 30, 42 und so weiter immer ein Rechteck legen kann, dass genau einen Stein länger ist als es breit ist. Man könnte solche Rechtecke als n·(n+1) Rechtecke bezeichnen. Und damit hat man auch gleich eine Regel, wie man die Summe der n ersten natürlichen Zahlen berechnen kann. Welch ein schönes Ergebnis! Tatsächlich sind Zahlen, aus denen man solche Rechtecke bauen kann in der Mathematik sogenannt benannt, und zwar sehr gut passend als 👉 Rechteckzahl

Persönliche Anmerkung

Gerne stellen praktisch veranlagte Menschen den Fragen nach dem Nutzen eines Beweises. Natürlich kann man immer sagen, dass man mit Mathematik und Beweisen irgendwie sein Denken schult. Aber das kann man auch in einem politischen Debattierklub oder im Schachverein.

ZITAT:

Paul Lockhart, 2009: "Reine Mathematik hat absolut keinen praktischen oder wirtschaftlichen Nutzen. Praktische Dinge brauchen keine Erklärung. Entweder sie funktionieren oder sie funktionieren nicht."^[3]

Der US-amerikanische Mathematiker Lockhart geht noch weiter und behauptet, dass ein Nutzen auch gar nicht nötig ist. Er muss nicht stören, ein Nutzen darf gerne sein. Aber für Lockhart ist Mathematik ein Selbstzweck, etwas das direkt für sich Freude macht. Ich möchte diesen Gedanken Lockharts zustimmen. Niemand käme auf die Idee nach dem Nutzen von einem Kinobesuch zu fragen. Niemand muss sich dafür rechtfertigen, ein schönes Lied zu hören. Beides tut man, weil es Freude in sich bereitet - ein interesssanter Gedanke.

Fußnoten

[1] Wolfram MathWorld. 24.Januar 2022: https://mathworld.wolfram.com/OddNumberTheorem.html

[2] Der Beweis mit dem Quadrat-Bild ist erklärt in: Paul Lockhart: Mathematician's Lament. How School Cheats Us Out of Our Most Fascinating and Imaginative Art Form. Bellevue Literary Press. New York. 2009. ISBN 978-1-934137-17-8. Dort um die Seite 113.

[3] "pure mathematics (by which I mean the fine art of mathematical proof) has absolutely no practical or economic value whatsoever. You see, practical things don't require explanation. Either they work or they don't. […] Anyway, the point is not whether mathematics has any practical value - I don't care if it does or not. All I'm saying is that we don't need to justify it on that basis." In: Paul Lockhart: Mathematician's Lament. How School Cheats Us Out of Our Most Fascinating and Imaginative Art Form. Bellevue Literary Press. New York. 2009. ISBN 978-1-934137-17-8. Dort auf Seite 120.