Definition

Als Rechteckzahl bezeichnet man jede Zahl die für eine Anzahl von gleich großen Quadraten steht, aus denen man lückenlos und ohne Rest ein Rechtecke legen kann, dass genau ein Quadrat länger ist als es breit ist. Die 12 ist eine Rechteckzahl, weil man aus zwölf Quadraten ein 3·4-Rechteck legen kann. Die 10 hingegen ist keine Rechteckzahl. Eine Rechteckzahl, ein Sonderfall einer pronischen Zahl genannt^[1], ist rechnerisch das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Aus sechs kongruenten (gleiche Form, gleich groß) Rechtecksteinen kann man ein größeres Rechteck legen, das genau einen Stein länger ist als es breit ist. Jede Anzahl von Steinen, mit der das geht, gibt eine Rechteckzahl. Die 10 zum Beispiel ist keine Rechteckzahl. Mit ihr kann man kein solches Rechteck legen. Mit der Zwölf und der Zwanzig aber geht es wieder. © Gunter Heim/ChatGPT (KI) ☛

1000 Rechteckzahlen

Hier steht eine Liste der ersten 1000 Rechteckzahlen. Manche Autoren rechnen die 0 dazu, wir hier nicht. Kann man irgendein Bildungsgesetz erkennen? Könnte man eine Formel finden, um direkt die 50-te Rechteckzahl berechnen? Hier die Liste:

Liste

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550, 2652, 2756, 2862, 2970, 3080, 3192, 3306, 3422, 3540, 3660, 3782, 3906, 4032, 4160, 4290, 4422, 4556, 4692, 4830, 4970, 5112, 5256, 5402, 5550, 5700, 5852, 6006, 6162, 6320, 6480, 6642, 6806, 6972, 7140, 7310, 7482, 7656, 7832, 8010, 8190, 8372, 8556, 8742, 8930, 9120, 9312, 9506, 9702, 9900, 10100, 10302, 10506, 10712, 10920, 11130, 11342, 11556, 11772, 11990, 12210, 12432, 12656, 12882, 13110, 13340, 13572, 13806, 14042, 14280, 14520, 14762, 15006, 15252, 15500, 15750, 16002, 16256, 16512, 16770, 17030, 17292, 17556, 17822, 18090, 18360, 18632, 18906, 19182, 19460, 19740, 20022, 20306, 20592, 20880, 21170, 21462, 21756, 22052, 22350, 22650, 22952, 23256, 23562, 23870, 24180, 24492, 24806, 25122, 25440, 25760, 26082, 26406, 26732, 27060, 27390, 27722, 28056, 28392, 28730, 29070, 29412, 29756, 30102, 30450, 30800, 31152, 31506, 31862, 32220, 32580, 32942, 33306, 33672, 34040, 34410, 34782, 35156, 35532, 35910, 36290, 36672, 37056, 37442, 37830, 38220, 38612, 39006, 39402, 39800, 40200, 40602, 41006, 41412, 41820, 42230, 42642, 43056, 43472, 43890, 44310, 44732, 45156, 45582, 46010, 46440, 46872, 47306, 47742, 48180, 48620, 49062, 49506, 49952, 50400, 50850, 51302, 51756, 52212, 52670, 53130, 53592, 54056, 54522, 54990, 55460, 55932, 56406, 56882, 57360, 57840, 58322, 58806, 59292, 59780, 60270, 60762, 61256, 61752, 62250, 62750, 63252, 63756, 64262, 64770, 65280, 65792, 66306, 66822, 67340, 67860, 68382, 68906, 69432, 69960, 70490, 71022, 71556, 72092, 72630, 73170, 73712, 74256, 74802, 75350, 75900, 76452, 77006, 77562, 78120, 78680, 79242, 79806, 80372, 80940, 81510, 82082, 82656, 83232, 83810, 84390, 84972, 85556, 86142, 86730, 87320, 87912, 88506, 89102, 89700, 90300, 90902, 91506, 92112, 92720, 93330, 93942, 94556, 95172, 95790, 96410, 97032, 97656, 98282, 98910, 99540, 100172, 100806, 101442, 102080, 102720, 103362, 104006, 104652, 105300, 105950, 106602, 107256, 107912, 108570, 109230, 109892, 110556, 111222, 111890, 112560, 113232, 113906, 114582, 115260, 115940, 116622, 117306, 117992, 118680, 119370, 120062, 120756, 121452, 122150, 122850, 123552, 124256, 124962, 125670, 126380, 127092, 127806, 128522, 129240, 129960, 130682, 131406, 132132, 132860, 133590, 134322, 135056, 135792, 136530, 137270, 138012, 138756, 139502, 140250, 141000, 141752, 142506, 143262, 144020, 144780, 145542, 146306, 147072, 147840, 148610, 149382, 150156, 150932, 151710, 152490, 153272, 154056, 154842, 155630, 156420, 157212, 158006, 158802, 159600, 160400, 161202, 162006, 162812, 163620, 164430, 165242, 166056, 166872, 167690, 168510, 169332, 170156, 170982, 171810, 172640, 173472, 174306, 175142, 175980, 176820, 177662, 178506, 179352, 180200, 181050, 181902, 182756, 183612, 184470, 185330, 186192, 187056, 187922, 188790, 189660, 190532, 191406, 192282, 193160, 194040, 194922, 195806, 196692, 197580, 198470, 199362, 200256, 201152, 202050, 202950, 203852, 204756, 205662, 206570, 207480, 208392, 209306, 210222, 211140, 212060, 212982, 213906, 214832, 215760, 216690, 217622, 218556, 219492, 220430, 221370, 222312, 223256, 224202, 225150, 226100, 227052, 228006, 228962, 229920, 230880, 231842, 232806, 233772, 234740, 235710, 236682, 237656, 238632, 239610, 240590, 241572, 242556, 243542, 244530, 245520, 246512, 247506, 248502, 249500, 250500, 251502, 252506, 253512, 254520, 255530, 256542, 257556, 258572, 259590, 260610, 261632, 262656, 263682, 264710, 265740, 266772, 267806, 268842, 269880, 270920, 271962, 273006, 274052, 275100, 276150, 277202, 278256, 279312, 280370, 281430, 282492, 283556, 284622, 285690, 286760, 287832, 288906, 289982, 291060, 292140, 293222, 294306, 295392, 296480, 297570, 298662, 299756, 300852, 301950, 303050, 304152, 305256, 306362, 307470, 308580, 309692, 310806, 311922, 313040, 314160, 315282, 316406, 317532, 318660, 319790, 320922, 322056, 323192, 324330, 325470, 326612, 327756, 328902, 330050, 331200, 332352, 333506, 334662, 335820, 336980, 338142, 339306, 340472, 341640, 342810, 343982, 345156, 346332, 347510, 348690, 349872, 351056, 352242, 353430, 354620, 355812, 357006, 358202, 359400, 360600, 361802, 363006, 364212, 365420, 366630, 367842, 369056, 370272, 371490, 372710, 373932, 375156, 376382, 377610, 378840, 380072, 381306, 382542, 383780, 385020, 386262, 387506, 388752, 390000, 391250, 392502, 393756, 395012, 396270, 397530, 398792, 400056, 401322, 402590, 403860, 405132, 406406, 407682, 408960, 410240, 411522, 412806, 414092, 415380, 416670, 417962, 419256, 420552, 421850, 423150, 424452, 425756, 427062, 428370, 429680, 430992, 432306, 433622, 434940, 436260, 437582, 438906, 440232, 441560, 442890, 444222, 445556, 446892, 448230, 449570, 450912, 452256, 453602, 454950, 456300, 457652, 459006, 460362, 461720, 463080, 464442, 465806, 467172, 468540, 469910, 471282, 472656, 474032, 475410, 476790, 478172, 479556, 480942, 482330, 483720, 485112, 486506, 487902, 489300, 490700, 492102, 493506, 494912, 496320, 497730, 499142, 500556, 501972, 503390, 504810, 506232, 507656, 509082, 510510, 511940, 513372, 514806, 516242, 517680, 519120, 520562, 522006, 523452, 524900, 526350, 527802, 529256, 530712, 532170, 533630, 535092, 536556, 538022, 539490, 540960, 542432, 543906, 545382, 546860, 548340, 549822, 551306, 552792, 554280, 555770, 557262, 558756, 560252, 561750, 563250, 564752, 566256, 567762, 569270, 570780, 572292, 573806, 575322, 576840, 578360, 579882, 581406, 582932, 584460, 585990, 587522, 589056, 590592, 592130, 593670, 595212, 596756, 598302, 599850, 601400, 602952, 604506, 606062, 607620, 609180, 610742, 612306, 613872, 615440, 617010, 618582, 620156, 621732, 623310, 624890, 626472, 628056, 629642, 631230, 632820, 634412, 636006, 637602, 639200, 640800, 642402, 644006, 645612, 647220, 648830, 650442, 652056, 653672, 655290, 656910, 658532, 660156, 661782, 663410, 665040, 666672, 668306, 669942, 671580, 673220, 674862, 676506, 678152, 679800, 681450, 683102, 684756, 686412, 688070, 689730, 691392, 693056, 694722, 696390, 698060, 699732, 701406, 703082, 704760, 706440, 708122, 709806, 711492, 713180, 714870, 716562, 718256, 719952, 721650, 723350, 725052, 726756, 728462, 730170, 731880, 733592, 735306, 737022, 738740, 740460, 742182, 743906, 745632, 747360, 749090, 750822, 752556, 754292, 756030, 757770, 759512, 761256, 763002, 764750, 766500, 768252, 770006, 771762, 773520, 775280, 777042, 778806, 780572, 782340, 784110, 785882, 787656, 789432, 791210, 792990, 794772, 796556, 798342, 800130, 801920, 803712, 805506, 807302, 809100, 810900, 812702, 814506, 816312, 818120, 819930, 821742, 823556, 825372, 827190, 829010, 830832, 832656, 834482, 836310, 838140, 839972, 841806, 843642, 845480, 847320, 849162, 851006, 852852, 854700, 856550, 858402, 860256, 862112, 863970, 865830, 867692, 869556, 871422, 873290, 875160, 877032, 878906, 880782, 882660, 884540, 886422, 888306, 890192, 892080, 893970, 895862, 897756, 899652, 901550, 903450, 905352, 907256, 909162, 911070, 912980, 914892, 916806, 918722, 920640, 922560, 924482, 926406, 928332, 930260, 932190, 934122, 936056, 937992, 939930, 941870, 943812, 945756, 947702, 949650, 951600, 953552, 955506, 957462, 959420, 961380, 963342, 965306, 967272, 969240, 971210, 973182, 975156, 977132, 979110, 981090, 983072, 985056, 987042, 989030, 991020, 993012, 995006, 997002, 999000, 1001000

Eine solche geordnete Liste von Zahlen nennt man in der Mathematik auch eine Folge. Üblicherweise nummeriert man die Zahlen beginnend bei der 1 aufsteigend. Die Zahl mit der Nummer 1 ist die 2, die mit der Nummer 2 ist die 6, die mit der Nummer 3 ist 12. Als Platzhalter für die Nummer oder Position innerhalb der Liste hat sich das kleine lateinische n heraus gebildet. Siehe auch 👉 Folge

Eigenschaften

Bezug zur Dreieckszahlen

Als Dreieckszahl bezeichnet man jede Zahl mit der man in der Art von aufgestapelten Apfelsinen ein Dreieck legen könnte. Nicht jede natürliche Zahle ist auch eine Dreieckszahl. Dreieckszahlen sind zum Beispiel die 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45 und die 55. Gibt es eine Beziehung zwischen Dreiecks- und Rechteckzahlen?

Dieses Bild ist für das Verständnis des Textes nicht wichtig. Das Bild wird im Text nicht erwähnt.

Bei einer Dreieckszahl kann man erst eine untere Reihe von Kreisen bilden. In die Muldenkommt die darüber liegende Reihe. Und dann immer weiter bis nach oben zur Spitze des Dreiecks. Jede Anzahl von Kreisen, mit denen das geht, nennt man eine Dreieckszahl.

Hier ist der Bezug zwischen Dreiecks- und Rechteckzahlen: die n-te Rechteckzahl ist das Doppelte der n-ten Dreieckszahl. Mit dem Term n²+n kann man direkt die n-te Rechteckzahl berechnen. Die n-te Dreieckszahl entsteht, wenn man die ersten n natürlichen Zahlen aufaddiert:

n=1 gibt die Rechteckzahl 2 und die Dreickszahl 1.

n=2 gibt die Rechteckzahl 6 und die Dreickszahl 1+2 = 3.

n=3 gibt die Rechteckzahl 12 und die Dreickszahl 1+2+3 = 6.

n=4 gibt die Rechteckzahl 20 und die Dreickszahl 1+2+3+4 = 10.

n=5 gibt die Rechteckzahl 30 und die Dreickszahl 1+2+3+4+5 = 15.

n=6 gibt die Rechteckzahl 42 und die Dreickszahl 1+2+3+4+5+6 = 21.

n=7 gibt die Rechteckzahl 56 und die Dreickszahl 1+2+3+4+5+6+7 = 28.

Man sieht, dass die Dreieckszahl immer die Hälfte ihrer entsprechenden Rechteckzahl gibt. Dass man ein Rechteck immer in zwei gleich große Dreiecke halbieren kann gibt vielleicht einen Hinweis auf tiefere geometrische Zusammenhänge.

Bezug zum "Even number theorem"

Nehmen wir noch einmal die ersten 10 Rechteckzahlen: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90 und 110. Jede dieser Zahlen ist auch gleich der Summe der n ersten geraden Zahlen. Das kleine n steht wieder für die Nummer der Position einer Zahl innerhalb der Liste:

n=1 gibt die Rechteckzahl 2 = die Summe der ersten geraden Zahl: 2 = 2

n=2 gibt die Rechteckzahl 6 = die Summe der zwei ersten geraden Zahl: 2+4 = 10

n=3 gibt die Rechteckzahl 12 = die Summe der drei ersten geraden Zahlen 2+4+6 = 12

n=4 gibt die Rechteckzahl 20 = die Summe der vier ersten geraden Zahlen 2+4+6+8 = 20

n=5 gibt die Rechteckzahl 20 = die Summe der fünf ersten geraden Zahlen 2+4+6+8+10 = 30

n=6 gibt die Rechteckzahl 20 = die Summe der sechs ersten geraden Zahlen 2+4+6+8+10+12 = 42

n=7 gibt die Rechteckzahl 20 = die Summe der sieben ersten geraden Zahlen 2+4+6+8+10+12+14 = 56

Man kann also sagen: die Summe der n ersten geraden Zahlen ergibt immer auch die n-te Rechteckzahl. Tatsächlich gibt es in der offiziellen Mathematik kein "Even number theorem". Aber es gibt ein ähnlich formuliertes Odd number theorem:

Addiert man die n ersten ungeraden Zahlen (beginnen bei der 1) auf, dann erhält man als Ergebnis immer eine Quadratzahl. Es scheint eine tiefere, geometrische Verbindung zwischen der Welt der Zahlen und der Welt der Vielecke zu geben.

Die Summe der n ersten ungeraden Zahlen ergibt immer die n-te Quadratzahl aus der Liste der Quadratzahlen, die bei 1 beginnt (und nicht bei 0). Siehe auch 👉 Odd number theorem

Fragen

Gibt es ungerade oder nur gerade Recheckzahlen?

Könnte man die Antwort beweisen?

Gibt es eine Regelmäßigkeit bei den Abständen von einer zur nächsten Zahl?

Werden die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Zahlen immer größer?

Kann man eine Formel finden, um eine Zahl aus ihrem Vorgänger zu berechnen? Siehe auch 👉 Rekursion

Kann man eine Formel finden, um direkt die n-te Rechteckzahl zu berechnen? Siehe auch explizite Folge^{👉  [2]}

Die n-te Rechteckzahl ist das Doppelte der n-ten Dreieckszahl. Kann man das beweisen? Siehe auch 👉 Dreieckszahl

Persönliche Anmerkung

Solche einfachen Zahlentheoretischen Betrachtungen kann man schon mit jungen Kindern aus der Grundschule anstellen. Die Erfahrung aus unserer Aachener Lernwerkstatt ist, dass die Suche nach Mustern und Regeln für viele Kinder eine große Motivation ist, sich auch über eine längere Zeit hinweg mit Zahlen zu beschäftigen. Zuerst bespricht man in Ruhe, dass man aus Würfeln Rechtecke legen will. Und die Rechtecke sollen ein Steinchen länger sein als sie breit sind. Und dann kann man irgendeine Anzahl von Würfeln auf den Tisch packen und fragen, ob es mit dieser Anzahl klappt. Jede Anzahl, mit der es klappt, nennt man dann eine Rechteckzahl. Das ist durchaus in der intellektuellen Reichweite von Grundschülern. Eine solche frühe Beschäftigung mit der Zahlentheorie gibt abstrakt und denkerisch veranlagten Kindern vielleicht eine Chance, einen Reiz im Rechnen zu spüren, der beim bloßen Lernen von Rechenregeln eher unbemerkt bleibt.

Fußnoten

[1] "Pronische Zahl (Pronikzahl), die Summe einer Zahl u. ihres Quadrats, od. ihres Cubus, od. ihres Biquadrats, a + a², a + a³, a + a⁴. Cardano unterschied diese Formen u. nannte sie der Reihe nach Pronicum minus, medium, majus." In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 13. Altenburg 1861, S. 623. Siehe auch 👉 pronische Zahl

[2] "Pronic numbers are figurate numbers of the form P_n=2T_n=n(n+1), where T_n is the nth triangular number. The first few are 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110". In: Weisstein, Eric W. "Pronic Number." From MathWorld--A Wolfram Resource. Abgerufen im März 2026. Online: https://mathworld.wolfram.com/PronicNumber.html

[3] Tatsächlich gibt es eine solche explizite Bildungsformel: n²+n. Wenn man die erste Zahl aus der Liste (die Zahl 2) haben möchte, rechnet man: 1²+1. Und das gibt tatsächlich die Zahl 2. Und geht man in der Liste oben bis zur zwanzigsten Zahl, der 420, dann käme man mit der Rechnung 20²+20 direkt zu diesem Ergebnis. In der Algebra ist der Term n²+n 👉 gemischtquadratisch