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Pronische Zahl

Zahlentheorie

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Definition｜ Bildungsgesetz｜ Kuriosität｜ Beispiele｜ Fußnoten


Definition


Als pronisch im weiteren Sinn bezeichnet man jede Zahl, die aus einem Term der Form wie zum Beispiel n+n² oder n+n³, also als Summe von n und einer natürlichzahligen Potenz von n (mit n>1) entsteht. [1] Im engeren Sinn versteht man heute nur Zahlen der Form n+n² darunter. [2] Eine pronische Zahl der Form n²+n ist immer gleich der doppelten Summe der n ersten positiven natürlichen Zahlen und damit immer auch eine Rechteckzahl.

Bildungsgesetz


Man listet die pronischen Zahlen in der Regel aufwärts an. Wenn n für den Platz einer pronischen Zahl in der aufwärts geordneten Liste steht, steht n also für die n-te Zahl in diese Liste. Diese n-te Zahl in der Liste kann man dann direkt berechnen. Es gibt drei übliche Terme. Jeder der drei Terme führt immer auch zum selben Ergebnis wie die zwei anderen Terme.

  • 2·(1+2+3…+n)
  • n(n+1)
  • n²+n

Möchte man zum Beispiel die dritte pronische Zahl berechnen, dann setzt man für den Platzhalter n die Zahl 3 ein. Es müsste immer dieselbe Zahl heraus kommen. Für n=3:

  • 2·(1+2+3)=2·6 = 12 ✓
  • 3·(3+1) = 12 ✓
  • 3²+3 = 12 ✓

Machen wir noch eine zweite Stichprobe. Aus der Liste unten sieht man, dass die neunte pronische Zahl genau 90 ist. Also setzen wir der Reihe nach die Zahl 9 in jeden der drei Terme oben ein. Für n=9:

  • 2·(1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 2·45 = 90 ✓
  • 9·(9+1) = 9·10 = 90 ✓
  • 9²+9 = 81+9 = 90 ✓

In beiden Fällen ergaben die drei verwendeten Terme die richtigen Werte wie man sie auch in Tabellen und Listen findet. [2] [3]. Da die Terme auch in verschiedenen Quellen angegeben sind, kann man sie als zuverlässig ansehen.

Kuriosität


Ludwig Knoblauch, Jahrgang 1946, aus dem südhessischen Riedstadt-Erfelden weist auf folgenden Zusammenhang hin, der ursprünglich von Yifan Xie [5] formuliert wurde. Zahlen, die das Produkt zweier pronischer Zahlen sind, kann man in Anlehnung an A072389 - OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, deutsch Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen) "bipronisch" nennen. Die bipronischen Zahlen (außer der Null) haben eine sonderbare Eigenschaft: unter den Teilern einer solchen Zahl finden sich stets mindestens zwei, die auf eine vertrackte Weise "so nahe wie möglich beieinander" sind.

Regel

  • Seien t und s zwei verschiedene Teiler einer natürlichen Zahl P.
  • Wir betrachten die Summen aus Teiler und Quotient:

  • T=t+P/t
  • S=s+P/s
  • Wenn sich unter den Teilern von P zwei finden lassen, so dass
  • T - S = 1
  • ist, dann ist P bipronisch und jede bipronische Zahl hat solche Teiler.

Beispiel

  • x=2, y=5
  • P = x·(x+1)·y(y+1) = (2·3)·(5·6) = 180 # P ist bipronisch
  • t=10, P/t=18, T=28
  • s=12, P/s=15, S=27
  • T - S = 1
  • Näher können sich T und S nicht kommen

Beispiele


Die erste und kleinste pronische Zahl ist die Zwei. Die weiteren pronischen Zahlen kann man mit jeder beliebigen der drei obigen Formeln berechnen. Die folgende Liste [3] gibt die ersten 1000 pronischen Zahlen wieder.

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550, 2652, 2756, 2862, 2970, 3080, 3192, 3306, 3422, 3540, 3660, 3782, 3906, 4032, 4160, 4290, 4422, 4556, 4692, 4830, 4970, 5112, 5256, 5402, 5550, 5700, 5852, 6006, 6162, 6320, 6480, 6642, 6806, 6972, 7140, 7310, 7482, 7656, 7832, 8010, 8190, 8372, 8556, 8742, 8930, 9120, 9312, 9506, 9702, 9900, 10100, 10302, 10506, 10712, 10920, 11130, 11342, 11556, 11772, 11990, 12210, 12432, 12656, 12882, 13110, 13340, 13572, 13806, 14042, 14280, 14520, 14762, 15006, 15252, 15500, 15750, 16002, 16256, 16512, 16770, 17030, 17292, 17556, 17822, 18090, 18360, 18632, 18906, 19182, 19460, 19740, 20022, 20306, 20592, 20880, 21170, 21462, 21756, 22052, 22350, 22650, 22952, 23256, 23562, 23870, 24180, 24492, 24806, 25122, 25440, 25760, 26082, 26406, 26732, 27060, 27390, 27722, 28056, 28392, 28730, 29070, 29412, 29756, 30102, 30450, 30800, 31152, 31506, 31862, 32220, 32580, 32942, 33306, 33672, 34040, 34410, 34782, 35156, 35532, 35910, 36290, 36672, 37056, 37442, 37830, 38220, 38612, 39006, 39402, 39800, 40200, 40602, 41006, 41412, 41820, 42230, 42642, 43056, 43472, 43890, 44310, 44732, 45156, 45582, 46010, 46440, 46872, 47306, 47742, 48180, 48620, 49062, 49506, 49952, 50400, 50850, 51302, 51756, 52212, 52670, 53130, 53592, 54056, 54522, 54990, 55460, 55932, 56406, 56882, 57360, 57840, 58322, 58806, 59292, 59780, 60270, 60762, 61256, 61752, 62250, 62750, 63252, 63756, 64262, 64770, 65280, 65792, 66306, 66822, 67340, 67860, 68382, 68906, 69432, 69960, 70490, 71022, 71556, 72092, 72630, 73170, 73712, 74256, 74802, 75350, 75900, 76452, 77006, 77562, 78120, 78680, 79242, 79806, 80372, 80940, 81510, 82082, 82656, 83232, 83810, 84390, 84972, 85556, 86142, 86730, 87320, 87912, 88506, 89102, 89700, 90300, 90902, 91506, 92112, 92720, 93330, 93942, 94556, 95172, 95790, 96410, 97032, 97656, 98282, 98910, 99540, 100172, 100806, 101442, 102080, 102720, 103362, 104006, 104652, 105300, 105950, 106602, 107256, 107912, 108570, 109230, 109892, 110556, 111222, 111890, 112560, 113232, 113906, 114582, 115260, 115940, 116622, 117306, 117992, 118680, 119370, 120062, 120756, 121452, 122150, 122850, 123552, 124256, 124962, 125670, 126380, 127092, 127806, 128522, 129240, 129960, 130682, 131406, 132132, 132860, 133590, 134322, 135056, 135792, 136530, 137270, 138012, 138756, 139502, 140250, 141000, 141752, 142506, 143262, 144020, 144780, 145542, 146306, 147072, 147840, 148610, 149382, 150156, 150932, 151710, 152490, 153272, 154056, 154842, 155630, 156420, 157212, 158006, 158802, 159600, 160400, 161202, 162006, 162812, 163620, 164430, 165242, 166056, 166872, 167690, 168510, 169332, 170156, 170982, 171810, 172640, 173472, 174306, 175142, 175980, 176820, 177662, 178506, 179352, 180200, 181050, 181902, 182756, 183612, 184470, 185330, 186192, 187056, 187922, 188790, 189660, 190532, 191406, 192282, 193160, 194040, 194922, 195806, 196692, 197580, 198470, 199362, 200256, 201152, 202050, 202950, 203852, 204756, 205662, 206570, 207480, 208392, 209306, 210222, 211140, 212060, 212982, 213906, 214832, 215760, 216690, 217622, 218556, 219492, 220430, 221370, 222312, 223256, 224202, 225150, 226100, 227052, 228006, 228962, 229920, 230880, 231842, 232806, 233772, 234740, 235710, 236682, 237656, 238632, 239610, 240590, 241572, 242556, 243542, 244530, 245520, 246512, 247506, 248502, 249500, 250500, 251502, 252506, 253512, 254520, 255530, 256542, 257556, 258572, 259590, 260610, 261632, 262656, 263682, 264710, 265740, 266772, 267806, 268842, 269880, 270920, 271962, 273006, 274052, 275100, 276150, 277202, 278256, 279312, 280370, 281430, 282492, 283556, 284622, 285690, 286760, 287832, 288906, 289982, 291060, 292140, 293222, 294306, 295392, 296480, 297570, 298662, 299756, 300852, 301950, 303050, 304152, 305256, 306362, 307470, 308580, 309692, 310806, 311922, 313040, 314160, 315282, 316406, 317532, 318660, 319790, 320922, 322056, 323192, 324330, 325470, 326612, 327756, 328902, 330050, 331200, 332352, 333506, 334662, 335820, 336980, 338142, 339306, 340472, 341640, 342810, 343982, 345156, 346332, 347510, 348690, 349872, 351056, 352242, 353430, 354620, 355812, 357006, 358202, 359400, 360600, 361802, 363006, 364212, 365420, 366630, 367842, 369056, 370272, 371490, 372710, 373932, 375156, 376382, 377610, 378840, 380072, 381306, 382542, 383780, 385020, 386262, 387506, 388752, 390000, 391250, 392502, 393756, 395012, 396270, 397530, 398792, 400056, 401322, 402590, 403860, 405132, 406406, 407682, 408960, 410240, 411522, 412806, 414092, 415380, 416670, 417962, 419256, 420552, 421850, 423150, 424452, 425756, 427062, 428370, 429680, 430992, 432306, 433622, 434940, 436260, 437582, 438906, 440232, 441560, 442890, 444222, 445556, 446892, 448230, 449570, 450912, 452256, 453602, 454950, 456300, 457652, 459006, 460362, 461720, 463080, 464442, 465806, 467172, 468540, 469910, 471282, 472656, 474032, 475410, 476790, 478172, 479556, 480942, 482330, 483720, 485112, 486506, 487902, 489300, 490700, 492102, 493506, 494912, 496320, 497730, 499142, 500556, 501972, 503390, 504810, 506232, 507656, 509082, 510510, 511940, 513372, 514806, 516242, 517680, 519120, 520562, 522006, 523452, 524900, 526350, 527802, 529256, 530712, 532170, 533630, 535092, 536556, 538022, 539490, 540960, 542432, 543906, 545382, 546860, 548340, 549822, 551306, 552792, 554280, 555770, 557262, 558756, 560252, 561750, 563250, 564752, 566256, 567762, 569270, 570780, 572292, 573806, 575322, 576840, 578360, 579882, 581406, 582932, 584460, 585990, 587522, 589056, 590592, 592130, 593670, 595212, 596756, 598302, 599850, 601400, 602952, 604506, 606062, 607620, 609180, 610742, 612306, 613872, 615440, 617010, 618582, 620156, 621732, 623310, 624890, 626472, 628056, 629642, 631230, 632820, 634412, 636006, 637602, 639200, 640800, 642402, 644006, 645612, 647220, 648830, 650442, 652056, 653672, 655290, 656910, 658532, 660156, 661782, 663410, 665040, 666672, 668306, 669942, 671580, 673220, 674862, 676506, 678152, 679800, 681450, 683102, 684756, 686412, 688070, 689730, 691392, 693056, 694722, 696390, 698060, 699732, 701406, 703082, 704760, 706440, 708122, 709806, 711492, 713180, 714870, 716562, 718256, 719952, 721650, 723350, 725052, 726756, 728462, 730170, 731880, 733592, 735306, 737022, 738740, 740460, 742182, 743906, 745632, 747360, 749090, 750822, 752556, 754292, 756030, 757770, 759512, 761256, 763002, 764750, 766500, 768252, 770006, 771762, 773520, 775280, 777042, 778806, 780572, 782340, 784110, 785882, 787656, 789432, 791210, 792990, 794772, 796556, 798342, 800130, 801920, 803712, 805506, 807302, 809100, 810900, 812702, 814506, 816312, 818120, 819930, 821742, 823556, 825372, 827190, 829010, 830832, 832656, 834482, 836310, 838140, 839972, 841806, 843642, 845480, 847320, 849162, 851006, 852852, 854700, 856550, 858402, 860256, 862112, 863970, 865830, 867692, 869556, 871422, 873290, 875160, 877032, 878906, 880782, 882660, 884540, 886422, 888306, 890192, 892080, 893970, 895862, 897756, 899652, 901550, 903450, 905352, 907256, 909162, 911070, 912980, 914892, 916806, 918722, 920640, 922560, 924482, 926406, 928332, 930260, 932190, 934122, 936056, 937992, 939930, 941870, 943812, 945756, 947702, 949650, 951600, 953552, 955506, 957462, 959420, 961380, 963342, 965306, 967272, 969240, 971210, 973182, 975156, 977132, 979110, 981090, 983072, 985056, 987042, 989030, 991020, 993012, 995006, 997002, 999000, 1001000

Fußnoten


  • [1] "Pronische Zahl (Pronikzahl), die Summe einer Zahl u. ihres Quadrats, od. ihres Cubus, od. ihres Biquadrats, a + a², a + a³, a + a⁴. Cardano unterschied diese Formen u. nannte sie der Reihe nach Pronicum minus, medium, majus." In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 13. Altenburg 1861, S. 623. Online: http://www.zeno.org/nid/20010686886
  • [2] "Pronic numbers are figurate numbers of the form P_n=2T_n=n(n+1), where T_n is the nth triangular number. The first few are 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110". In: Weisstein, Eric W. "Pronic Number." From MathWorld--A Wolfram Resource. Abgerufen im März 2026. Online: https://mathworld.wolfram.com/PronicNumber.html
  • [3] Die Liste der ersten 1000 pronischen Zahlen stammt aus: Kofler Massimo: K B I - Know Best Inference. NUMERI OBLUNGHI (Pronic numbers). Tavola numerica controllata. 2017. Abgerufen am 19. September 2026. Online: https://www.kbi.it/kbi-numeri%20oblunghi
  • [4] Die etwas obskure, das heißt dunkle Bezeichnung pronisch beruht möglicherweise auf einem Übersetzungsfehler. Jahrhunderte an Zeit, haben ihn aber quasi unauslöschlich gemacht: "pronic" seems to be a misspelling of 'promic' (from the Greek promekes, meaning rectangular, oblate, or oblong). However, no less an authority than Euler himself used the term 'pronic', so attempting to 'correct' it at this late date seems inadvisable." In: Weisstein, Eric W. "Pronic Number." From MathWorld--A Wolfram Resource. Abgerufen im März 2026. Online: https://mathworld.wolfram.com/PronicNumber.html
  • [5] Yifan Xie schreibt über sich selbst: "I'm a student in High School Affiliated to Fudan University. I've been a contributor to the OEIS since April 7, 2022. I study competitive/Olympiad mathematics. Most of my sequences are problems I encounter during my study. I do not have a specific area of interest on the OEIS." Die Fudan University liegt in der Küstenstadt Shanghai unweit der Jangtse-Mündung.

Siehe auch


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