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Explizite Folge

Zahlentheorie

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Definition｜ Beispiele｜ Rechenbeispiel｜ Explizite Folgen｜ Rekursive Darstellung｜ Nicht explizit darstellbar｜ Zellularautomaten｜ Philosophische Bedeutung｜ Evolutionsbiologie｜ Bewusstseinsforschung｜ Fußnoten


Definition


Eine Folge von Zahlen ist in expliziter Darstellung gegeben, wenn man das Glied mit der Nummer n direkt über einen Term berechnen kann [1] [2], der als Unbekannte nur n enthält. Insbesondere muss man nicht rekursiv die vorherigen Glieder der Reihe nach einzeln berechnen [3]. Synonyme sind geschlossene oder auch funktionale Darstellung. [4]

Beispiele


Rechenbeispiel


Um die Idee einer expliziten Darstellung zu begreifen soll das Beispiel der Folge der Quadratzahlen betrachtet werden: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 und so weiter. Das n steht für den Rang einer Zahl in dieser Liste. Mit n=2 meint man die zweite Quadratzahl in der Liste,also die 4. Und n=11 wäre die elfte Zahl aus der Liste, also die 121. Wählt man für n eine Zahl wie 5 aus, kann man mit der expliziten Darstellung sofort den Wert des fünften Gliedes der Folge als n², eingesetzt also 5² = 25 berechnen.

  • aₙ = n²

Die Gleichung besagt, dass das n-te Glied aₙ der Folge berechnet werden kann, indem man die n-Zahl quadriert. Mit dieser expliziten Darstellung kann man jedes Glied direkt berechnen. Man muss nicht vorher die Werte der vorherigen Gliede berechnet haben. [3]

Explizite Folgen



Rekursive Darstellung


Bei der rekurisven Darstellung berechnet man das n-te Glied aₙ indem man erst das vorherige Glied aₙ₋₁ berechnet und dann damit eine weitere Rechnung ausführt. Wenn wir aus der Folge der Quadratzahl das 5-te Glied 25 berechnen wollen, dann ist n = 5. In der rekursiven Darstellung muss man erst das vierte Glied, die 16 nehmen und dann 9 hinzuaddieren. Allgemein:

  • aₙ = aₙ₋₁+ 2n - 1

Beispiel für n = 5: das Glied Nummer n-1, also das vierte Glied der Folge, ist die 16. Man nimmt die 16 und rechnet dann noch 2n-1 hinzu, also: 2·5-1 oder plus 9. Damit kommt man auf a₅ = 16 + 2·5 - 1 = 16 + 9 = 25.

Wichtig für die rekursive Darstellung ist noch, dass man das erste Glied kennen muss. Nur wenn man das erste Glied kennt, kann man die darauffolgenden Glieder berechnen. Im Beispiel mit dem Quadratzahlen war das Glied Nummer Eins aus der Folge die Zahl 1. Wenn man das Ergebnis eines Rechenterms wiederum in den Rechenterm einsetzt, spricht man auch von einer 👉 Rekursion

Nicht explizit darstellbar


Es gibt Folgen, die man explizit nicht darstellen kann. Der Mathematiker Stephen Wolfram bezeichnet solche Folgen als irreduzibel (mehr davon weiter unten). Hier stehen Beispiele für Folgen, für die man (noch?) keine explizite Darstellung kennt:


Weitere bekannte Folgen aus der Mathematik, für die man keine explizite Darstellung kennt, sind die Hofstadter-Folge und die Recaman-Folge. Bei der Collatz-Folge, der Conway-Folge und der Recaman-Folge kann man zwar vermuten, dass eine explizite Darstellung nicht existiert. Aber sicher ist das noch nicht.

Zellularautomaten


Eng verwandt mit der Idee von Folgen sind die sogenannten Zellularautomaten. In der einfachsten Form hat man eine Zeile aus weißen und/oder schwarzen Quadraten. Und für die Zeilen gibt es eine feste Regel die sagt, wie man die nächste Zeile bestimmt:

1. Zeile: ■ □ □ □

Starten wir mit einer Zeile mit 4 Zellen. Nach der folgenden Regeln, kann man jetzt die nächste Zeile darunter berechnen. Man fragt für jede Zelle der neuen Zeile darunter, welche Farben die drei benachbarten Zellen der vorherigen Zeile darüber haben. Für eine neue Zelle betrachtet man also die alte Zelle links über ihr, direkt über ihr und rechts neben ihr. Die fehlenden Zellen an den Rändern nimmt man als weiß an.

  • Für die erste Zelle der neuen Zeile sind die Zellen darüber: □ ■ □
  • Für die zweite Zelle der neuen Zeile sind die Zellen darüber: ■ □ □
  • Für die dritte Zelle der neuen Zeile sind die Zellen darüber: □ □ □
  • Für die vierte Zelle der neuen Zeile sind die Zellen darüber: □ □ □

Bildungsregel:

  • Ist genau eine der drei alten Zellen schwarz, wird die neue Zelle schwarz.
  • Sind die alte mittlere und die alte rechte Zelle wird die neue Zelle schwarz.
  • In allen anderen Fällen wird sie weiß.

Zweite Zeile:

  • Für die erste Zelle der neuen Zeile sind die Zellen darüber: □ ■ □ -> neue Zelle -> schwwarz
  • Für die zweite Zelle der neuen Zeile sind die Zellen darüber: ■ □ □ -> neue Zelle -> schwarz
  • Für die dritte Zelle der neuen Zeile sind die Zellen darüber: □ □ □ -> neue Zelle -> weiß
  • Für die vierte Zelle der neuen Zeile sind die Zellen darüber: □ □ □ -> neue Zelle -> weiß

Für weitere Zeilen:

1. Zeile: ■ □ □ □
2. Zeile: ■ ■ □ □
3. Zeile: ■ □ ■ □
4. Zeile: ■ □ ■ ■
5. Zeile: ■ □ ■ □
6. Zeile: ■ □ ■ ■
7. Zeile: ■ □ ■ □
8. Zeile: ■ □ ■ ■
9. Zeile: ■ □ ■ □

Man kann rekursiv von jeder alten Zeile die nächste Zeile berechnen. Für die hundertste Zeile wäre der Weg aber recht mühsam. Wenn nur interessiert, wie die hundertste Zeile aussieht, fühlt es sich recht überflüssig an, die ganzen Zeilen dazwischen zu berechnen. Doch tatsächlich führt daran kein Weg vorbei. Es gibt keine explizite Formel, mit der man direkt das Aussehen der hundertsten Zeile berechnen könnte.

Philosophische Bedeutung


Es liegt auf der Hand, dass eine explizite Formel in der Regel sehr viel weniger Rechenaufwand benötigt, als ein rekursives Durchgehen aller Zwischenschritte. Der Mathematiker Stephen Wolfram und der Physiker Roger Penrose sehen darin eine tiefere philosophische Bedeutsamkeit.

Evolutionsbiologie


Bei Stephen Wolfram gründen viele Gedanken im Konzept der rechnerischen Irreduzibilität. Eine Folge von Zahlen oder ein Zellularautomat, für den ma n keine abkürzende explizite Darstellung finden kann, passen genau auf diese Definition:


ZITAT:

Stephen Wolfram, 2024: "Es gibt keine [rechnerische] Möglichkeit, in der Zeit nach vorne zu springen. Die einzige Möglichkeit um heraus zu finden was in der Zukunft passieren wird ist es, durch alle nicht weiter reduzierbaren Zwischenschritte zu gehen." [6]


Naturphilosophisch bedeutsam wird der Gedanke mit der Frage, ob die Wirklichkeit rechnerisch reduzibel ist oder nicht. Wenn man zum Beispiel eine Murmel eine Rutschbahn hinunter rollen lässt, dann wird sie mit jedem Zentimeter mehr, den sie herunter gerollt ist, etwas schneller. Wie schnell isti die Murmel dann am unteren Ende der Rutschbahn? Muss man Schritt-für-Schritt jeden Zwischenzustand vom Rollbeginn bis zum Abflug am Ende berechnen? Oder gibt es eine geschlossene, explizite Formel um direkt die Abfluggeschwindigkeit am Rutschbahnende zu bekommen?

Tatsächlich gibt es eine solche Möglichkeit der Berechnung: Epot = Ekin: Vernachlässigt man die Reibung, kann man die potentielle Energie der Murmel am Anfang gleich der kinetischen Energie am Ende setzen und schreiben: m·g·h = ½·m·v². Umstellen nach v gibt dann direkt die Abfluggeschwindigkeit.

Wolfram zufolge hat die Evolution einige wenige [8] solche Nester der Reduzierbarkeit (pockets of reducibility) gefunden. Und dort kann ein Organismus zum Beispiel das Geschehen in der Welt schneller vorausberechnen, als der Vorgang in Wirklichkeit benötigt. Wenn ein Affe bei seinen Sprüngen durch die Baumwipfel voraussagen kann, ob er einen Ast zu packen kriegt oder nicht, dann hat er offensichtlich einen Evolutionsvorteil gegenüber Affen, die das immer wieder aufs Neue ausprobieren müssen. Zwar könnte das Gehirn der Affen die Flugbahn auch Schritt für Schritt simulieren. Aber vermutlich führen die meisten expliziten Darstellungen schneller zum Ergebnis als eine schrittweise Simulation. Und der Evolutionsvorteil dürfte vor allem über die kürzere Berechnungsdauer zustande kommen. Siehe mehr zu Wolframs Konzept im Artikel über die 👉 rechnerische Irreduzibilität

Bewusstseinsforschung


Der Physiker und Mathematiker Roger Penrose arbeitet viel mit dem Begriff der Berechenbarkeit. Für ihn ist Berechenbarkeit ebenfalls die Reduzierung eines Schritt-für-Schritt-Weges auf eine Abkürzung. Für Penrose ist ein Problem berechenbar, wenn man es mit einer endlichen Anzahl von Rechenschritten berechnen kann. Nicht berechenbar sind Systeme, für deren Vorhersage man unendlich viele Rechenschritte benötigt. Mit einer geschlossenen Formel kommt man meist (nicht immer) mit endlich vielen Schritten aus. Penrose argumentiert, dass berechenbare Probleme üblicherweise von Geräten aus Materie, zum Beispiel von Computern, gelöst werden können. Für nicht berechenbare Probleme, so Penrose, gäbe es oft kein algorithmische Lösung in expliziter Form. Bei genau solchen Problemen, so Penrose, würde das Bewusstsein ins Spiel kommen. Penrose zufolge beschäftigt sich Bewusstsein mit nicht berechenbaren Fragen. Penrose hat diese Gedanken ausführlich dargelegt in seinem Buch Computerdenken. [9] Siehe mehr zu diesem Gedanken im Artikel zur 👉 Berechenbarkeit

Fußnoten


  • [1] Die Folge 〈aₙ〉 mit aₙ = 2 · n + 1 ist in expliziter Darstellung gegeben. Bei der expliziten Darstellung können wir jedes beliebige
Folgenglied ausrechnen, indem wir die gewünschte Zahl für n einsetzen". In: Fakultät für Mathematik der Universität Wien: KH – Folgen und Reihen. Mathematik macht Freunde. Abgerufen am 22. März 2026. Dort auf Seite 6. Online: https://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at/fileadmin/user_upload/p_mathematikmachtfreunde/Materialien/KH-Folgen_und_Reihen.pdf
  • [2] "Werden die Glieder einer Zahlenfolge allein über den Index n definiert, spricht man von einer expliziten Definition. Werden die Glieder einer Zahlenfolge mit Hilfe vorhergehender Glieder definiert, spricht man von einer rekursiven Definition. Diese Definition ist nur dann vollständig, wenn die ersten Folgeglieder explizit gegeben sind. Wird in der Definition des Folgengliedes sowohl der Index als auch ein vorhergehendes Folgenglied verwendet, spricht man ebenfalls von einer rekursiven Definition." In: Universität Bremen. Reimund Albers: Mathematisches Denken in Arithmetik und Geometrie 2. Dort im "Kapitel 1 Folgen und Reihen". Abgerufen im März 2026. https://mathematik.uni-bremen.de/didaktik/ma/ralbers/Veranstaltungen/MaDenken1212/Material/Kap1FolgenReihen.pdf
  • [3] "In der Vergangenheit war die explizite Definition die höherwertige und das Ziel mancher Bemühungen in der Mathematik. Der Vorteil liegt auf der Hand: Bei der expliziten Definition kann man direkt ein Folgenglied ausrechnen, ohne die vorhergehenden zu kennen. Eine rekursive Definition ist in der praktischen Verwendung rechenaufwändig. Für das 100. Folgenglied muss ich die 99 vorhergehenden berechnen." In: Universität Bremen. Reimund Albers: Mathematisches Denken in Arithmetik und Geometrie 2. Dort im "Kapitel 1 Folgen und Reihen". Abgerufen im März 2026. https://mathematik.uni-bremen.de/didaktik/ma/ralbers/Veranstaltungen/MaDenken1212/Material/Kap1FolgenReihen.pdf
  • [5] Die Collatz-Folge im Beispiel enstand aus der Rekursionsformel: "Beginne mit irgendeiner natürlichen Zahl n > 0. Ist n gerade, so nimm als nächste Zahl: n / 2. Ist n ungerade, so nimm als nächstes Zahl: 3·n + 1. Wiederhole die Vorgehensweise mit der erhaltenen Zahl." Im Beispiel war die Startnahl 19. Siehe mehr unter 👉 Collatz-Problem
  • [6] Startwert einer Conway-Folge ist stets eine positive natürliche Zahl d (beziehungsweise eine beliebige Ziffernfolge), oft zum Beispiel d = 1. Zur Bestimmung des Folgegliedes bestimmt man die Länge der Blöcke gleicher Ziffern in der Vorgängerzahl und schreibt die Häufigkeit und Ziffer für jeden Block hintereinander. Die so geschriebene Zahl ist das nächste Folgenglied. Beispiel für d=3: 3 -> eine Drei -> 13 -> eine Eins und eine Drei -> 1113 -> drei Einsen und eine Drei -> 3113 -> eine Drei, zwei Einsen und noch eine Drei -> 132113 -> eine Eins, eine Drei, eine Zwei, zwei Einsen undeine Drei -> 1113122113. Und so weiter.
  • [7] Wolfram in englischen Original: "There’s no way to “jump ahead” in time; the only way to find out what will happen in the future is to go through the irreducible computational steps to get there." In: Stephen Wolfram: On the Nature of Time. 8. Oktober 2024. The Computational View of Time. Online: https://writings.stephenwolfram.com/2024/10/on-the-nature-of-time/
  • [8] Zur Evolution: "One might imagine that with its incremental optimization, biological evolution would produce systems that somehow avoid computational irreducibility, and (like simple machinery) have obvious easy-to-understand mechanisms by which they operate. But in fact that’s not what biological evolution typically seems to produce. And instead—as I’ve recently argued—what it seems to do is basically just to put together randomly found “lumps of irreducible computation” that happen to satisfy its fitness criterion." In: Stephen Wolfram (2025), "Towards a Computational Formalization for Foundations of Medicine," Stephen Wolfram Writings. writings.stephenwolfram.com/2025/02/towards-a-computational-formalization-for-foundations-of-medicine.
  • [9] Roger Penrose: Schatten des Geistes: Wege zu einer neuen Physik des Bewußtseins, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1995, ISBN 978-3-860-25260-4. Englische Erstausgabe: Roger Penrose: Shadows of the Mind: A Search for the Missing Science of Consciousness. Oxford University Press, New York 1994, ISBN 978-0-198-53978-0. Siehe auch 👉 Computerdenken


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