Basiswissen

4 mal 4 gibt 16. Die Zahl 16 ist die Quadratzahl von 4. Man sagt auch kurz: 4 quadrat gibt 16 und 16 ist das Quadrat der 4: eine Quadratzahl ist immer und nur das Ergebnis der Multiplikation einer natürlichen Zahl mit sich selbst. Das ist hier erklärt.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Wenn man aus einer Anzahl von Steinchen ein sauberes Quadrat ohne Lücken legen kann, dann war die Zahl eine Quadratzahl. Aus neun Steinchen kann man ein 3-mal-3-Quadrat legen. Also ist die Zahl 9 eine Quadratzahl. © Gunter Heim/Gemini (KI) ☛

Definition

Geometrisch

Eine Quadratzahl steht für eine Anzahl von Dingen, die man lückenlos und ohne Rest so in Reihen legen kann, dass am Ende in jeder Reihe genau so viele Dinge liegen, wie es insgesamt Reihen gibt. Haben die Dinge untereinander in einer Reihe über alle Reihen hinweg immer denselben Abstand zu ihren Nachbarn, dann kann man die Reihen so übereinander anordnen, dass ein quadratisches Muster entsteht.

Formal

Eine ganze Zahl mit sich selbst malgerechnet ergibt immer eine Quadratzahl.

Eine Quadratzahl muss immer das Produkt einer ganzen Zahl mit sich selbst sein.

Ganz nennt man jede Zahl, die man als Dezimalzahl ohne Komma schreiben kann.

Beispiele für Quadratzahlen

0 ist das Ergebnis von 0².

1 ist das Ergebnis von 1².

4 ist das Ergebnis von 2²

9 ist das Ergebnis von 3²

Siehe auch 👉 Quadratzahlen

Was ist das Gegenteil von einer Quadratzahl?

Die sogenannte Quadratwurzel: die Quadratwurzel von 100 ist 10, die Quadratwurzel von 16 ist 4 und die Quadratwurzel von 9 ist 3. Die Berechnung der Quadratwurzel nennt man das Wurzelziehen. Nach der Quadratwurzel von 16 fragt man zum Beispiel in der Art: wovon ist die 16 die Quadratzahl? Oder: was zum Quadrat gibt 16? Die Antwort ist die Zahl 4 und das ist dann die 👉 Quadratwurzel

Eigenschaften von Quadratzahlen

Quadratzahlen sind immer natürliche Zahlen (oder 0).

Quadratzahlen sind immer positiv (oder die 0).

Quadratzahlen enden nie auf 2; 3; 7 oder 8.

Das Odd Number Theorem

Das Quadrat von der Zahl 5 ist 25. Die Zahl 25 ist auch die Summe der ersten fünf ungeraden Zahlen: 1+3+5+7+9. Diese Beziehung gilt für alle Quadratzahlen und heißt 👉 Odd Number Theorem

Gibt 1,5² auch eine Quadratzahl?

Nein, 1,5² gibt 2,25. Man kann also auch echte Kommazahlen, überhaupt jede reelle Zahl quadrieren. Von Quadratzahlen spricht man aber nur, wenn man eine ganze Zahl quadriert hat. Die 2,25 ist also keine Quadratzahl, sondern die 1,5 "erhoben zur zweiten Potenz". Siehe auch 👉 zweite Potenz

Quadratzahlen und Hochbegabung

ANMERKUNG:

Seit 2005 unterrichte ich Mathematik und Physik im Raum Aachen. Dabei lernte ich auch viele hochbegabte und hochinteressierte Kinder kennen. Quadratzahlen bieten viele Möglichkeiten, dass gerade jüngere Kinder, schon aber dem Grundschulalter, sich intensiv und kreativ mit Zahlen beschäftigen können. Quadratzahlen, wie überhaupt alle Themen aus der Zahlentheorie, haben den großen Vorteil, dass man auch ohne Kenntnis von "Kommazahlen", Brüchen oder Rechenregeln zu Klammern etc. anspruchsvolle "echte" Mathematik treiben kann.