Definition

Man nennt zwei Zahlen befreundet, wenn die eine Zahl gleich der Teilersumme der anderen Zahl ist, und umgekehrt. Das ist hier an einem Beispiel erklärt.

Beispiel

Das erste Paar von Zahlen, die miteinander befreundet sind, wird von der 220 und der 284 gebildet. Das Beispiel soll bereits den alten Pythagoräern vor über 2500 Jahren bekannt gewesen sein. Gehen wir Schritt für Schritt durch, das es meint, von zwei befreundeten Zahlen zu sprechen.

Teiler finden

Zuerst muss man von beiden Zahlen alle Teiler finden. Die Teiler einer natürlichen Zahl n sind alle natürlichen Zahlen, die in n ohne Rest enthalten sind. Man kann die Teiler zum Beispiel durch probieren herausfinden: kann man die 220 ohne Rest durch zwei Teilen? Ja! Dann ist die 2 auch ein Teiler von der 220.^[1] Auf diese Weise kann man alle Teiler von 220 und 284 finden:

284 hat als Teiler: 1, 2, 4, 71, 142 und 284.

220 hat als Teiler: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 und 220.

Teilersummen

Jetzt bildet man für beide Zahlen die sogenannte Teilersumme. Man erhält die Teilersumme, wenn man alle Teiler einer Zahl aufaddiert. Die übliche Abkürzung ist der kleine griechische Buchstabe Sigma, also das σ.^[2]

σ(220) = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110+220 = 504

σ(284) = 1+2+4+71+142+284 = 504

Befreundete Zahlen haben immer dieselbe Teilersumme. Aber das ist nicht das einzige, was befreundete Zahlen verbindet. Schauen wir weiter.

Alquotensumme

Als Aliquotensumme, multiplikativen Inhalt oder kurz nur Inhalt^[3] einer natürlichen Zahl n bezeichnet man die Summe aller ihrer Teiler ohne die Zahl n selbst. Die übliche Abkürzung ist ein kleines lateinisches s oder i:^[3]

s(220) = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

s(284) = 1+2+4+71+142 = 220

Damit kommen wir zu nächsten Eigenschaft befreundeten Zahlen: wenn zwei Zahlen miteinander befreundet sind, dann ist der Inhalt einer jeden der beiden Zahlen gleich der anderen Zahlen.

Zahlensumme

Kommen wir zur letzten Eigenchaft befreundeter Zahlen: die Summe zweier befreundeter Zahlen ist immre gleich der Teilersumme einer jeden der beiden einzelnen Zahlen:

σ(220) = 1+2+4+71+142+284 = 504

σ(284) = 1+2+4+71+142+284 = 504

220 + 284 = 504

Zusammenfassung

Zwei befreundete Zahlen haben als Paar also immer drei Eigenschaften, von denen keine einzige fehlen darf. In mathematischer Symbolsprache kann man für zwei befreundete Zahlen m und n dann festhalten:

σ(m) = σ(n) = m + n = i(n) i(m)^[4]

Fußnoten

[1] Teiler in einem Lexikon aus dem Jahr 1910, mathematisch: "Teil, aliquoter, in der Arithmetik ein Divisor, durch welchen das Ganze ohne Rest teilbar ist. Jeder andre Teil, mit welchem ein Ganzes nicht ohne Rest teilbar ist, heißt aliquanter Teil. So sind z.B. 2, 3, 4, 6 aliquote, 5, 7, 8, 9 aliquante Teile von 12." In: Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 8 Stuttgart, Leipzig 1910., S. 429. Siehe auch 👉 Teiler einer Zahl

[2] "Wenn alle Teiler einer Zahl zusammengezählt werden, nennt man dies die Teilersumme." Als Beispiel wird für die Zahl 12 die Teilersumme 28 angegeben. Die Abkürzung für die Teilersumme sei das kleine griechische Sigma. In: In: Wolfang Crayaufmüller: Primzahlfamilien. Selbstverlag. 1995. ISBN: 3-9801032-2-6. Dort im Kapitel "Zahlenfamilien", Seite 7.

[3] Die Bezeichnung "Multiplikativer Inhalt" oder nur "Inhalt" sowie die Abkürzungen i und s werden verwendet in: In: Wolfang Crayaufmüller: Primzahlfamilien. Selbstverlag. 1995. ISBN: 3-9801032-2-6. Dort im Kapitel "Zahlenfamilien", Seite 8.

"σ(m) = σ(n) = m + n = i(n) i(m)" steht genau so in: In: Wolfang Crayaufmüller: Primzahlfamilien. Selbstverlag. 1995. ISBN: 3-9801032-2-6. Dort im Kapitel "Zahlenfamilien", Seite 9.