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Teiler einer Zahl

Definition

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Basiswissen｜ Wer kann Teiler haben?｜ Was meint Teiler von einer Zahl z?｜ Was ist die exakte Definition?｜ Was wäre ein Beispiel?｜ Wie bestimmt man alle Teiler?｜ Gilt die Teilbarkeit auch für negative Zahlen?｜ Welche Teiler hat die Zahl 0?｜ Was ist eine Teilersumme?｜ Welche andere Bedeutung hat Teiler noch?｜ Zahlentheorie｜ Fußnoten


Basiswissen


In der Zahlentheorie ist Teiler exakt definiert: eine natürliche Zahl, die ohne Rest in einer anderen natürlichen Zahl enthalten ist. Die 2 ist ein Teiler von der 4, weil 4 geteilt durch 2 ohne Rest aufgeht. Aber die 2 ist kein Teiler von der 5, den 5 geteilt durch 2 gibt den Rest 1. Das ist hier genauer erklärt.

Wer kann Teiler haben?


  • Nur natürliche Zahlen können Teiler haben.
  • Natürliche Zahlen sind zum Beispiel die 0, die 1, die 2 oder die 17.

Was meint Teiler von einer Zahl z?


  • Ein Teiler von einer Zahl z ist selbst auch eine ganze Zahl.
  • Um ein Teiler von zu sein, müssen sie ohne Rest in z stecken.
  • Die Divison von z durch den Teiler muss also ohne Rest oder Kommazahl aufgehen.
  • Anders gesagt: z geteilt durch einen Teiler muss wieder eine ganze Zahl geben.

Was ist die exakte Definition?


Eine natürliche Zahl a ist genau dann ein Teiler von n, wenn es eine natürliche Zahl b gibt sodass gilt: a mal b gibt n [1]. So ist zum Beispiel die Zahl 3 ein Teiler der Zahl 6, da es eine andere natürliche Zahl gibt, nämlich die 2, mit der multipliziert die 3 wieder 6 ergibt.

Was wäre ein Beispiel?


  • Welche Teiler hat die ganze Zahl 8?
  • Die 1 klappt, denn sie steckt genau 8 mal in der 8.
  • Auch die 2 klappt, denn sie steckt genau 4 mal in der 8.
  • Die 3 klappt nicht, denn sie steckt etwa 2,33 mal in der 8.
  • Die 4 klappt wieder. Sie steckt 2 mal in der 8.
  • Die 5 klappt nicht. Sie steckt 1,6 mal in der 8.
  • Die 6 klappt auch nicht. Sie steckt etwa 1,33 mal in der 8.
  • Die 7 klappt auch nicht. Sie steckt etwa 1,14 mal in der 8.
  • Die 8 klappt wieder. Sie steckt genau 1 mal in der 8.
  • Man schreibt: T(8)={1, 2, 4, 8}

Wie bestimmt man alle Teiler?


  • Mengen gibt man oft mit einer geschweiften Klammer {} an.
  • In der Schulmathematik bestimmt man die Teiler über Probieren.
  • Geht eine Division ohne Rest auf, hat man einen Teiler gefunden.

Gilt die Teilbarkeit auch für negative Zahlen?


  • Hier sind die Definitionen uneinheitlich.
  • Manche Autoren beschränken die Definition auf natürliche Zahlen. [1]
  • Andere Autoren erweitern sie auf die ganzen Zahlen.
  • Die ganzen Zahlen sind die natürlichen Zahlen mit ihren negativen Gegenzahlen sowie der Null.
  • Mit ganzen Zahlen wäre die Teiler von 8 zum Beispiel:
  • -8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; und 8.

Welche Teiler hat die Zahl 0?


  • Theoretisch stecken alle ganzen Zahlen ohne Rest in der 0.
  • So gesehen wären alle ganzen Zahlen Teiler der 0.
  • Das wird oft auch so gehandhabt.

Was ist eine Teilersumme?


  • Die Teiler von der 8 sind 1, 2, 4, und 8.
  • Diese Teiler aufaddiert geben die Zahl 15.

Welche andere Bedeutung hat Teiler noch?


  • In der Mathematik hat das Wort Teiler zwei Bedeutungen.
  • Die erste Bedeutung ist die hier beschriebene als ganzzahliger Faktor.
  • Die zweite Bedeutung ist die als Zahl durch die bei der Division geteilt wird.

Zahlentheorie


Die Zahlentheorie beschäftigt sich mit interessanten Mustern und Regelmäßigkeiten beim Rechnen mit natürlichen Zahlen. Sie ist ein uraltes, sehr großes und sehr lebendiges Gebiet der Mathematik. Die Teiler spielen in ihr eine große Rolle. So kann man zum Beispiel fragen, ob eine größere Zahl immer mehr verschiedene Teiler hat als eine kleinere Zahl. Oder: wächst die Teilersumme mit der Größe der Zahl die man betrachtet?

Betrachtet man die Teilersummen der ersten vier natürlichen Zahlen, scheint es so zu sein, dass größere Zahlen auch größere Teilersummen haben:

  • 1 hat als Teilersumme: 1
  • 2 hat als Teilersumme: 3
  • 3 hat als Teilersumme: 4
  • 4 hat als Teilersumme: 7

Aber schon für die Zahl 5 wird diese Regel gebrochen. Und wenn man die Reihe fortsetzt wird man einige krasse Fälle finden. Interessant ist auch die Frage, ob eine gerade Zahl immer eine ungerade Teilersumme hat und umgekehrt. So sieht es zumindest für die Zahlen ab der Zwei in den Beispielen hier aus. Eine Liste von 99 Zahlen mit ihren Teilersummen steht im Artikel zur 👉 Teilersumme

Fußnoten




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