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Zahlenbereiche

ℕ, ℤ, ℚ, ℝ oder ℂ

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Basiswissen｜ Übersicht｜ Die klassischen Zahlenbereiche｜ Zahlenräume｜ Darstellungsarten, Zahlenarten｜ Wozu Zahlenbereiche?｜ Innermathematisch: Gleichungen lösen｜ Außermathematisch: messen｜ Fußnoten


Basiswissen


ℕ, ℤ, ℚ, ℝ und das ℂ sind die klassischen Zahlenbereiche der Schulmathematik. Daneben gibt es auch noch weitere besondere Bereiche wie ℙ oder exotische Objekte wie ℍ, die dann aber nur in der höheren Mathematik behandelt werden. Aber wozu gibt es überhaupt diese verschiedenen Zahlenbereiche?

Übersicht


Man unterscheidet in der Mathematik Zahlenbereiche (z. B. ℕ, ℤ oder ℚ), Zahlenräume (bis 20, bis 100 etc.) und dann auch Darstellungsarten von Zahlen (z. B. 4,0 = 4/1 = 4).

Die klassischen Zahlenbereiche


Hier stehen die Zahlenbereiche die häufig in der Schulmathematik oder auch der höheren Mathematik behandelt werden. Was auffällt ist, dass es für die Irrationalen Zahlen kein eigenes Symbol gibt.


Als Sonderfälle kann man noch die Primzahlen und die irrationelen Zahlen nennen. Sie sind keine Zahlenbereiche oder Zahlenmengen im eigentlichen Sinn der Mathematik:

  • ℝ∖ℚ: gesprochen als: R ohne Q Gibt die irrationale Zahlen. Diese lassen sich nicht als Bruch darstellen; mehr unter irrationale Zahl ↗

Zahlenräume


In der Grundschule spricht man von sogenannten Zahlenräumen: der Zahlenraum bis 10, bis 20, bis 100 und bis 1000. Danach kommen dann die "großen Zahlen". Mit jedem neuen Zahlenraum werden neue Rechenarten und -konzepte gelernt:


Darstellungsarten, Zahlenarten


Hyperreelle und surreale Zahlen, echte Kommazahlen, gemischte Zahlen oder normale Zahlen (die sehr selten sind): neben den oben aufgelisteten klassischen Zahlenbereichen gibt es noch viele weitere Bezeichnungen von Zahlen, die entweder offiziell in der Mathematik gültig sind oder eher inoffiziell - aber nicht selten - verwendet werden. Siehe dazu die Seite zu Zahlenarten ↗

Wozu Zahlenbereiche?


Bleiben wir bei den klassischen Zahlenbereichen. ℕ, ℤ, ℚ, ℝ werden auf jeden Fall in der Schulmathematik behandelt. Die komplexen Zahlen ℂ kommen, wenn überhaupt, nur Richtung Abitur vor. Aber wozu gibt es diese verschiedenen Zahlenbereiche überhaupt? Es gibt zwei hauptsächlichen Gründe. Einmal braucht man sie zum Lösen von Gleichungen, zum anderen aber für das praktische Messen aller möglichen Größen.

Innermathematisch: Gleichungen lösen


In der Mathematik und vielen Anwendungen spielen Gleichungen eine wichtige Rolle. Wer gut mit Gleichungen umgehen kann, kann damit zum Beispiel auch gut viele praktische Dinge erledigen. Betrachten wir ein einfaches Beispiel:

  • x+4 = 12

Zu einer unbekannten Zahl x soll die Zahl 4 hinzuddiert werden, sodass am Ende das Ergebnis 12 herauskommt. Man kann solche Gleichungen oft durch formale Rechenschritte lösen, die sogenannten Äquivalenzumformen:

  • x+4 = 12 | -4
  • x = 12-4 | berechnen
  • x = 8

Bei dieser Gleichung kam eine natürliche Zahl heraus. Man kann nun nach diesem Schema weitere Gleichungen sich ausdenken. Mit den Äquivalenzumformungen kann man dann die Lösung suchen:

  • 4+x = 2 | -4
  • x = 2-4 | berechnen

Hier taucht also die Frage auf, was 2 minus 4 als Rechenergebnis sein könnte. Es gibt keine natürliche Zahl, die man zu 4 hinzugerechnet könnte, sodass am Ende die Zahl 2 herauskommt. Denkt man aber mit negativen Zahlen, kann man die Gleichung vollständig lösen:

  • 4+x = 2 | -4
  • x = 2-4 | berechnen
  • x = -2

Probe: 4+(-2)=2. Und wenn man sich weitere Gleichungen ausdenkt, wird man nach und nach auf weitere Rechnungen stoßen, die man mit den bis dann bekannten Zahlenbereichen noch nicht lösen kann. Jedes solche Problem ist dann der Anlass zur Definition eines erweiterten Zahlenbereichs:


Es ist interessant, einmal in die Geschichte der Mathematik zu blicken. Oft waren es sogenannen innermathematische Gedanken, die zur Erweiterung des Zahlenbereichs führen. So versuchten um das Jahr 1540 Mathematiker Gleichungen wie x²+10 = 2 zu lösen. Dabei entwickelten sie Gedanken, die später zu den sogenannten komplexen Zahlen führten.[2] Irgendeine direkte praktische Anwendung war dabei oft noch gar nicht zu erkennen. Komplexe Zahlen spielen heute aber eine unverzichtbare Rolle, etwa in der Elektrotechnik oder der Quantenphysik. Oft in der Geschichte kam der praktisch-abstrakte Gedanke zuerst. Die Anwendungen außerhalb der Mathematik erkannte man manchmal erst Jahrhunderte später.

Außermathematisch: messen


Jeder kennt das typische Thermometer mit einer Flüssigkeitssäule und einer Skala: wie hoch die rote oder die blaue Flüssigkeit in einem dünnen Glasröhrchen steht, desto wärmer ist es. An der Skala kann man dann die Temperatur in Grad Celsius ablesen. Nun stelle man sich vor, man soll ein solches Thermometer bauen, dass auch die Temperatur in einem Gefrierfach anzeigt, und zwar in Grad Celsius. Welche Zahlen soll man verwenden, wenn die Temperatur unter 0 °C fällt? So kommt man ganz natürlich zur Idee der negativen Zahlen. Und wie soll man eine Temperatur in der Mitte zwischen 4 und 5 °C nennen? Mit Brüchen kann man 9/2 oder 4½ °C schreiben, mit der Dezimaldarstellung auch 4,5 °C.


Für das Ablesen von Messergebnissen genügen in der Regel die rationalen Zahlen. Das sind alle Zahlen, die man irgendwie als Bruch schreiben kann, bei denen nur ganze Zahlen im Zähler oder Nenner stehen dürfen. Die irrationalen Zahlen oder sogar die komplexen Zahlen spielen dann erst eine Rolle, wenn man wieder mehr theoretisch und/oder innermathematisch arbeitet.

Fußnoten


  • [1] Eine sehr anschauliche und gut verständliche Erklärung zum Sinn der verschiedenen Zahlenbereiche findet man in: Lisa Hefendehl-Hebeker, Susanne Prediger: Unzählig viele Zahlen: Zahlbereiche erweitern – Zahlvorstellungen wandeln. Praxis der Mathematik in der Schule 48 (2006)11, S. 1-7.
  • [2] Ein Beispiel dafür, wie tiefsinnig und abstrakt das mathematische Denken bereits zu einer Zeit war, als man noch fast dreihundert Jahre lang weiter Hexen in Europa und den USA verbrennen sollte ist: Gerolamo Cardano: Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis Liber Unus (Buch Nummer eins der Großen Kunst – Über die Regeln der Algebra). 1545. Dieses Buch behandelte Fragen wie die Lösung einer Gleichung wie 4x⁴-8x³+2x²-7x+13=0. Diese Gleichung kann bis zu vier verschiedene Lösungen haben. Die Formel für die Lösung erstreckt sich über eine ganze Wandtafel, die Rechenerfahren dazu sind äußerst aufwändig. Und um überhaupt gedanklich zu Lösungen vordringen zu können, mussten die Zahlenbereiche erweitert werden. Zur Kompliziertheit solcher Lösungen und zum historischen Hintergrund siehe den Artikel zur sogenannten Ferrari-Formel ↗


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