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Gleichung


Definition


Basiswissen


4x+5 = 41: Alle Terme zwischen denen ein mathematisches Gleichzeichen steht heißen Gleichung. Das Gleichzeichen besagt, dass links und rechts am Ende der gleiche Zahlenwert stehen sollte, aber nicht stehen muss. Das wird hier näher erklärt.

Beispiele für Gleichungen



Welche Rolle spielen Gleichungen in der Schulmathematik?


In der Schulmathematik geht es meistes darum gegebene Gleichungen zu lösen. Die Gleichung 4x+4 = 40 zum Beispiel hat die Lösung x=9. Neben dem Lösungen müssen oft aber auch Gleichungen aus Texten erstellt werden. Das sind die beiden wichtigsten Themen zu Gleichungen in der Schulmathematik:


Was heißt es, eine Gleichung zu lösen?


Gleichungen enthalten oft Buchstaben. Man nennt sie die Unbekannten. Die Unbekannten sind im Prinzip Platzhalter. Man kann für sie irgendeine Zahl einsetzen. Dann rechnet man die linke und rechte Seite aus. Wenn am Ende auf beide Seiten dieselbe Zahl steht, dann hat man die Gleichung gelöst. Die eingesetze Zahl war dann die Lösung. Mehr unter Lösung einer Gleichung ↗

Müssen Gleichungen aufgehen?


Nein, die Gleichung x=x+1 wird für keine irgendwie denkbare Zahl aufgehen. Anders gesagt, hat diese Gleichung keine Lösung. Sie ist sozusagen immer falsch. Dennoch gilt der Ausdruck als Gleichung. Man nennt solche Beziehungen auch unlösbare Gleichungen ↗

Braucht eine Gleichung immer eine Unbekannte?


Nein, es gibt auch Gleichungen nur mit Zahlen und Rechenzeichen, also ganz ohne Unbekannte [2]. Ein Beispiel ist 20=3·6+2 (wahre Aussage) oder 20=3·6+1 (falsche Aussage). Solche Gleichungen sind aus mathematischer Sicht auch eine Aussage ↗

Dürfen Gleichungen falsch sein?


Ja, auch 1=0 ist eine Gleichung. Das Spektrum Lexikon der Mathematik schreibt zu Gleichungen mit n Unbekannten eindeuti: "Für n = 0 ist die Gleichung T1 = T2 eine Aussage, also entweder wahr (z. B. 2 + 3 = 1 + 4) oder falsch (z. B. 1 = 0)". Solche Gleichungen, die sozusagen nicht stimmen oder nie aufgehen nennt man eine falsche Aussage ↗

Darf eine Gleichung mehrere Unbekannte haben?


Ja, eine Gleichung darf beliebig viele Unbekannte enthalten [2]. Diese müssen auch nicht x heißen. Auch 4a+2b=10 ist eine Gleichung. Lies dazu zum Beispiel unter Gleichung mit zwei Unbekannten ↗

Was ist der Definitionsbereich?


So nennt man die Zahlen, aus denen man eine Lösung für eine Gleichung sucht. Wenn zum Beispiel mit der Gleichung 4x=20 berechnen will, wie viele Menschen in einem kleinen Flugzeug mitfliegen dürfen, und das x für die Anzahl der Fluggäste zusammen mit den Piloten steht, dann macht es wenig Sinn, wenn man als Ergebnis auch die Zahlen über 50 oder echte Kommazahlen wie 2,7 akzeptieren würde. Es gibt keine 2,7 Personen. Hier könnte man zum Beispiel festlegen, dass x eine natürliche Zahl zwischen 1 und 10 sein muss. Das ist dann der Definitionsbereich ↗

Ausführliche Definition


Eine Gleichung ist eine Gleichheitsbezieung zwischen zwei algebraischen Ausdrücken [1], oder anders gesagt, zwei Terme, die durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden sind [2]. Ein algebraischer Ausdruck, dort auch Term genannt, werden eine oder mehrere algebraische Größen, wie Zahlen oder Buchstabensymbole, genannt, die durch Zeichen wie, +,-,·,:,√ usw. sowie verschiedene Arten von Klammern zur Festlegung der Operationsfolge miteinander verknüpft sind [1]." Diese Definition fordert nicht, dass eine Gleichung eine Unbekannte enthalten muss.

Fußnoten