Definition

t=√(2·s/g) - als Falldauer t bezeichnet man die Zeitdauer, die ein Gegenstand beim Fallen benötigt, um eine bestimmte Strecke s zu durchfallen. Da Fallbewegungen oft nur sehr kurz dauern, ist eine häufig verwendete Einheit die Sekunde. Wenn man sich von einem 5-Meter-Turm fallen lässt, beträgt die Falldauer bis zum Auftreffen auf dem Wasser ziemlich genau eine Sekunde. Wichtig ist es, zwischen einem Freien Fall und einem Fall mit Luftwiderstand zu unterscheiden. Historisch gehen die heute verwendeten Formeln auf Galilei zurück.^[1]

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Die Gesetze zur Dauer eines Freien Falles wurden von etwa 1604 bis 1640 von dem Italiener Galileo Galilei aufgestellt. Dabei wendete er einige damals revolutionäre (und provokative) Denkweisen an. © Martin Rulsch (Wikimedia) ☛

Freier Fall

Als frei bezeichnet man eine Fallbewegung, wenn als einzige auf den fallenden Körper angenommende Kraft die Gravitationskraft ist. Das heißt, das zum Beispiel der Einfluss der Luftreibung, aerodynamische Effekte, magnetische^[3] oder elektrische Kräfte ignoriert, also nicht berücksichtigt werden. Für kürze Fallstrecken, etwa von einem 10 Meter hohen Sprungturm, liefert die hier vorgestellte Formel sehr gute Ergebnisse. Man geht davon aus, dass der Körper beim Beginn des Freien Falls noch keine Anfangsgeschwindigkeit hatte.

Berechnung

Formel

t = √(2·s/a)

Legende

t = Dauer des Freien Falls

· = ein übliches Malzeichen ↗

√ = das übliche Wurzelzeichen ↗

s = die Fallstrecke ↗

/ = ein übliches Geteiltzeichen ↗

a = oft auch g, die Fallbeschleunigung ↗

Beispiel

s = 25 m

a = 9,81 m/s²

Einsetzen

t = √(2·25 m : 9,81 m/s²)

Ergebnis

t ≈ 2,26 s

Eine Bleikugel, die ungebremst und nur von der Anziehungskraft der Erde beschleunigt nach unten fällt, würde für einen Fall aus 25 Metern Höhe etwa 2,26 Sekunden benötigen.

Herleitung

Die Formel für die Falldauer t in Abhängigkeit von der Fallhöhe s und der Fallbeschleunigung a kann man aus einer grundlegenden Formel zum Freien Fall selbst herleiten. Formel s=½at² steht in jeder guten Formelsammlung zur Physik:

s=½at² | ·2 oder :½

2s=at² | :a

2s:a=t² | √

t = √(2s:a)

Dass man eine Formeln aus einer Formelsammlung umstellt nach beliebigen der in ihr enthaltenen Variablen ist in der Physik sehr nützlich. Siehe dazu auch den Artikel zu Formeln umstellen ↗

Überschlag

Einen guten Überschlag für einen freien Fall auf der Erde gibt auch t = Wurzel aus s:5. Dazu ein Zahlenbeispiel. Wenn ein Körper aus einer Höhe von 20 Metern fällt, setzt man s=20 ein und rechnet mit dem Überschlag: 20 durch 5. Das gibt 4. Daraus zieht man die Wurzel und erhält 2. Das ist die Falldauer in Sekunden für 20 Meter. Siehe mehr unter Freier Fall ↗

Mit Luftwiderstand

Bei einem Fall mit Luftwiderstand wird die Berechnung sehr viel komplizierter. Direkt nach dem Loslassen beginnt der Körper mit einer beschleunigten Bewegung. Der Körper nimmt also an Geschwindigkeit zu. Ab einer gewissen Grenzgeschwindigkeit ist der Luftwiderstand dann aber so groß, dass die Geschwindigkeit dann nicht mehr wächst, sie bleibt konstant.

4:36 Minuten Fall über 25 km ohne Fallschirm Joseph Kittinger ↗

Etwa 15 Minuten für 10 m Nebeltropfensinkgeschwindigkeit ↗

Z. B. etwa ½ Sekunde für einen Meteoriten für die 100 km durch die Erdatmosphäre Meteorit ↗

In Flüssigkeiten

Körper können auch in Flüssigkeiten nach unten fallen. Man spricht dann aber eher von einem Sinken und nicht mehr von einem Fall. Die Falldauer hängt dann von der Form, der Größe, dem Material des sinkenden Gegenstandes sowie vor allem auch der Flüssigkeit (Wasser, Öl, Honig) ab. Siehe dazu den Artikel Stokessche Gleichung ↗

Historisch

Die Geschichte der mathematischen Beziehung zwischen der Dauer eines Freien Falls und der dabei zurückgelegten Strecke reicht mindestens bis ins Jahr 1604 zurück^[1]. Veröffentlicht wurde sie im Jahr 1638^[2]. Galileo Galilei (1564 bis 1642) hatte die mathematische Beziehung mit primitivsten Mitteln und einem genialen Gedanken aus Versuchen abgeleitet. Eine tiefere Ursache sollte aber erst Isaac Newton (1642 bis 1727) mit seiner Gravitationskraft angeben. Siehe mehr unter Fallgesetze ↗

Fußnoten

[1] Der älteste Belegt, dass sich Galileo Galilei mit der Dauer von Fallbewegungen beschäftigt hat, stammt aus einem fast verlore gegangenen Fragment aus einem Briefwechsel aus dem Jahr 1604: Drake S. Galileo’s 1604 Fragment on Falling Bodies (Galileo Gleanings XVIII). The British Journal for the History of Science. 1969;4(4):340-358. doi:10.1017/S0007087400010244

[2] Galileo Galilei: Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze attenenti alla mecanica & i movimenti locali. Erschienen 1638. Deutsch: Galileo Galilei: Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend. Dritter Tag. Übersetzt von A. v. Oettingen. 1891.

[3] Wie stark elektromagnetisch erzeuge Kräfte einen Freien Fall verhindern können zeigt eindrucksvoll eine Magnetkugel, die durch ein Kupferrohr fällt. Der Versuch ist ausführlich beschrieben in im Artikel Kupfer-Fallrohr-Versuch ↗