Fallgesetze
Physik
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Basiswissen
Formeln zur Beschreibung von Fallvorgängen: freier Fall, senkrechter, waagrechter und schiefer Wurf: ist von den Fallgesetzen die Rede, meint man meist Fallvorgänge auf der Erde. Man unterscheidet verschiedene Arten des Fallens.
Die wichtigsten Fallgesetze
Sternstunde der Menschheit
Der österreichische Schriftsteller Stefan Zweig (1881 bis 1942, Freitod mit seiner Frau) prägte 1927 die Metapher von den Sternstunden der Menschheit. Er meinte damit kurze Momente der Geschichte, in denen sich große Veränderungen gleichsam kristallisierten. Zweig war Literat und kein Naturwissenschaftler und so finden sich in seinen Beispielen auch keine "Sternstunden der Physik". Die Art und Weise aber, wie der Italiener Galileo Galilei (1564 bis 1642) die Suche nach den Fallgesetzen beschrieb, kann durchaus als eine solche Sternstunde gelten.
Galilei wendete bei der Aufdeckung der Vorläufer der heutigen Gleichung s=½at² eine Reihen von Arbeits- oder Denkweisen an, die jahrhunderte lang gegoren haben müssen, bevor sie zu einer zusammenhängenden wissenschaftlichen Methode wurden:
- Das Experiment als Wahrheitskriterium 👉 Empirismus
- Die einfachste Erklärung gilt 👉 Ockhams Rasiermesser
- Störgrößen denkt man sich weg 👉 Idealisierung
- Zuverlässig ist nur ein 👉 Mittelwert
Diese Denkweise sind heute Teil der Luft, die man in jeder naturwissenschaftlichen Ausbildung einatmet. In Vorlesungen an Hochschulen gelten sie als so selbstverständlich, dass sie als erkenntnisleitende Prinzipien kaum mehr diskutiert, geschweige denn hinterfragt werden. Das war im frühen 17. Jahrhundert noch ganz anders. Solche Erkenntnismethoden standen in direkter Konkurrenz etwa zu Bibelzitaten oder Verweisen auf die Texte antiker Denker. Es kommt denn auch nicht von Nichts, dass Galilei auf Kollisionskurs mit der damaligen Kirche geriet. Hier wird die damals revolutionär und provokativ neue Arbeits- und Denkweise Galileis anhand von originalen Zitaten aus seiner Zeit kurz vorgestellt.
ZITAT:
"wir [haben uns] entschlossen, diejenigen Erscheinungen zu betrachten, die bei den frei fallenden Körpern in der Natur vorkommen, und lassen die Definition der beschleunigten Bewegung zusammenfallen mit dem Wesen einer natürlich beschleunigten Bewegung." [2]
"wir [haben uns] entschlossen, diejenigen Erscheinungen zu betrachten, die bei den frei fallenden Körpern in der Natur vorkommen, und lassen die Definition der beschleunigten Bewegung zusammenfallen mit dem Wesen einer natürlich beschleunigten Bewegung." [2]
Galilei betont dabei indirekt, dass er empirisch vorgeht. Nicht nur aus reinen gedanklichen Überlegungen oder der Studie älterer Schriften will er sein Wissen ableiten. Vielmehr möchte er als Quelle seiner Erkenntnisse das Experiment nutzen:
ZITAT:
"Das glauben wir schliesslich nach langen Ueberlegungen als das Beste gefunden zu haben, vorzüglich darauf gestützt, dass das, was das Experiment den Sinnen vorführt, den erläuterten Erscheinungen durchaus entspreche." [2]
"Das glauben wir schliesslich nach langen Ueberlegungen als das Beste gefunden zu haben, vorzüglich darauf gestützt, dass das, was das Experiment den Sinnen vorführt, den erläuterten Erscheinungen durchaus entspreche." [2]
Was Galilei hier als den Sinnen vorgeführt bezeichnet, ist eine Umschreibung von Beobachtungen an der Natur selbst (Planetenbewegungen) oder in Experimenten (z. B. fallende und rollende Körper). Das genau ist der Kern der empirischen Methode. Siehe mehr unter 👉 Empirismus
Ein weiters Erkenntnisprinzip, das Galilei bei seiner Suche nach den Gesetzen des Freien Falls nutzt ist das der Denkökonomie [3], des Reduktionismus [4], auch als Ockhams Rasiermesser [5] bezeichnet:
ZITAT:
"Wenn ich […] bemerke, dass ein aus der Ruhelage von bedeutender Höhe herabfallender Stein nach und nach neue Zuwüchse an Geschwindigkeit erlangt, warum soll ich nicht glauben, dass solche Zuwüchse in allereinfachster, Jedermann plausibler Weise zu Stande kommen?" [2]
"Wenn ich […] bemerke, dass ein aus der Ruhelage von bedeutender Höhe herabfallender Stein nach und nach neue Zuwüchse an Geschwindigkeit erlangt, warum soll ich nicht glauben, dass solche Zuwüchse in allereinfachster, Jedermann plausibler Weise zu Stande kommen?" [2]
Galilei will die beobachteten Phänomene also auf einfache und für alle Personen verständliche Grundlagen zurückführen. Was Galilei mit einfach meint, beschreibt er anhand der engen Analogie zwischen einer unbeschleunigten und einer beschleunigten Bewegung:
ZITAT:
"wie die Gleichförmigkeit der Bewegung durch die Gleichheit der Zeiten und Räume bestimmt und erfasst wird (denn wir nannten diejenige Bewegung gleichförmig, bei der in gleichen Zeiten gleiche Strecken zurückgelegt wurden), so können wir durch ebensolche Gleichheit der Zeittheile die Geschwindigkeitszunahmen als einfach zu Stande gekommen erfassen: mit dem Geiste erkennen wir diese Bewegung als einförmig und in gleichbleibender Weise stetig beschleunigt, da in irgend welchen gleichen Zeiten gleiche Geschwindigkeitszunahmen sich addiren." [2]
"wie die Gleichförmigkeit der Bewegung durch die Gleichheit der Zeiten und Räume bestimmt und erfasst wird (denn wir nannten diejenige Bewegung gleichförmig, bei der in gleichen Zeiten gleiche Strecken zurückgelegt wurden), so können wir durch ebensolche Gleichheit der Zeittheile die Geschwindigkeitszunahmen als einfach zu Stande gekommen erfassen: mit dem Geiste erkennen wir diese Bewegung als einförmig und in gleichbleibender Weise stetig beschleunigt, da in irgend welchen gleichen Zeiten gleiche Geschwindigkeitszunahmen sich addiren." [2]
Bei der gleichförmigen Bewegung wächst also die zurückgelegte Strecke mit konstanter Rate, bei der gleichförmig beschleunigten Bewegung hingegen die Geschwindigkeit. In moderner Schreibweise mit Formeln sieht das so aus:
- Gleichförmig (unbeschleuigt) 👉 s=vt
- Gleichförmig beschleunigt 👉 v=at
DEFINITION:
"Gleichförmig oder einförmig beschleunigte Bewegung nenne ich diejenige, die von Anfang an in gleichen Zeiten gleiche Geschwindigkeitszuwüchse ertheilt." [2]
"Gleichförmig oder einförmig beschleunigte Bewegung nenne ich diejenige, die von Anfang an in gleichen Zeiten gleiche Geschwindigkeitszuwüchse ertheilt." [2]
Und noch ein heute wichtiges Prinzip der Naturwissenschaften verwendet Galilei bei der Suche nach den Fallgesetzen, die Idealisierung, das Wegdenken von störenden Einflüssen:
ZITAT:
"vorausgesetzt immer, dass alle zufälligen und äusseren Störungen fortgeräumt seien, und dass die Ebenen durchaus fest und glatt seien, und der Körper von vollkommenster Rundung sei, kurz Körper und Ebene frei von jeder Rauhigkeit seien." [2]
"vorausgesetzt immer, dass alle zufälligen und äusseren Störungen fortgeräumt seien, und dass die Ebenen durchaus fest und glatt seien, und der Körper von vollkommenster Rundung sei, kurz Körper und Ebene frei von jeder Rauhigkeit seien." [2]
Es gibt in der Wirklichkeit keine perfekt glatten und festen Ebenen und keine vollkommen runden Körper. Doch um gedanklich weiter zu kommen, geht Galilei von solchen perfekten Gebilden aus. Genau dasselbe tun wir heute wenn wir von einem Freien Fall reden und gleichzeitig wissen, dass überall im Kosmos störende Kräfte wirken (wenn auch sehr kleine). Dann stellt Galilei ein sogenanntes Theorem, eine Behaupt auf, die er für seine weitere Argumentation benutzt:
" Die Zeit, in welcher irgend eine Strecke von einem Körper von der Ruhelage aus mittelst einer gleichförmig beschleunigten Bewegung zurückgelegt wird, ist gleich der Zeit, in welcher dieselbe Strecke von demselben Körper zurückgelegt würde mittelst einer gleichförmigen Bewegung, deren Geschwindigkeit gleich wäre dem halben Betrage des höchsten und letzten Geschwindigkeitswerthes bei jener ersten gleichförmig beschleunigten Bewegung." [2]
Mit diesem Kniff gelingt es Galilei, den mathematisch schweren Fall einer beschleunigten Bewegung auf die Betrachtung vieler kleiner gleichförmiger Bewegungen zurückzuführen. Dieser Schritt wäre nicht nötig gewesen, hätte Galilei bereits die Infinitesimalrechnung benutzen können. Aber auch wenn er als einer der Pioniere dieser Rechenart gelten darf, waren es erst Galileis Nachfolger, etwa Newton und Leibniz (aber auch noch andere), die diese neue Mathematik gebrauchsfähig ausarbeiteten. Galilei bleibt bei all seinen Betrachtungen mathematisch auf dem Niveau der heutigen Mittelstufe. Genau das ist ein großer Vorteil für alle Leser ohne Kenntnisse der Höheren Mathematik.
Und dann kommt Galileis genialer Schritt, eine Kugel zu betrachten, die eine schiefe Ebene herunter rollt. Indem Galilei die schiefe Ebene dann nach und nach immer steiler stellt, kann er letztendlich extrapolieren wie sich die Kugel bei einer senkrecht nach unten verlaufenden schiefen Ebene verhalten würde. Das aber ist genau die Situation für einen freien Fall. Galilei kommt so zu der wichtigen Erkenntnis:
ZITAT:
"Wenn ein Körper von der Ruhelage aus gleichförmig beschleunigt fällt, so verhalten sich die in gewissen Zeiten zurückgelegten Strecken wie die Quadrate der Zeiten."
"Wenn ein Körper von der Ruhelage aus gleichförmig beschleunigt fällt, so verhalten sich die in gewissen Zeiten zurückgelegten Strecken wie die Quadrate der Zeiten."
Heute würde man sagen, dass die Quadrate der zurückgelegten Strecken proportional zur Zeit des Falls aus der Ruhelage sind. In Formelschreibweise wäre das:
- s ∝ t²
Als Zahlenbeispiele
- s=5 gehört zu t²=1
- s=20 gehört zu t²=4
- s=45 gehöhrt zu t²=9
- s=80 gehört zu t²=16
Man erkennt, dass die zurückgelegte Strecke immer das Fünffache des Quadrats der dazu benötigen Falldauer ist. Wenn aber s immer fünf mal so groß ist wie t², dann sind s und t auch zueinander 👉 proportional
Lesen wir zum Abschluss, wie Galilei seine Erkenntnisse durch Versuche untermauerte. Dort ist sein genialer Einfall mit der schiefen Ebene beschrieben. Die wesentliche Wendung in dem Zitat ist "für alle Neigungen der Ebene". Bemerkenswert ist, wie Galilei die Zeit gemessen hat, in einer Zeit, in der es noch keine Stoppuhren gab:
ZITAT:
"Wir verwendeten eine etwa 12 Ellen lange, eine halbe Elle breite und drei Finger breite dicke Planke oder Bohle. An ihrer Schmalseite wurde eine etwa einen Finger breite, vollkommen gerade Rinne eingeschnitten. Diese glätteten und polierten wir und kleideten sie mit möglichst glattem gut poliertem Pergament aus. In der Rinne ließen wir eine harte, glatte und vollkommen runde Bronzekugel rollen. Wir lagerten das eine Ende ein bis zwei Ellen höher als das andere und ließen, wie ich soeben sagte, entlang der jetzt schief liegenden Rinne die Kugel rollen. Die zum Abrollen benötigte Zeit stellten wir mit Hilfe einer noch zu schildernden Methode fest. Diesen Versuch wiederholten wir mehrere Male, um die Messgenauigkeit der Zeit soweit zu erhöhen, dass die Abweichungen zwischen je zwei Beobachtungen nie größer als ein Zehntel Pulsschlag waren. Als dieses vollbracht war und wir uns von der Zuverlässigkeit der Methode überzeugt hatten, ließen wir die Kugel nur den vierten Teil der Gesamtlänge der Rinne durchlaufen; als wir die hierfür nötige Zeitspanne maßen, stellten wir fest, dass sie genau die Hälfte von der im ersten Versuch gemessenen betrug. Dann untersuchten wird andere Entfernungen und verglichen die zum Durchlaufen der gesamten Länge der Rinne benötigte Zeit mit der für die Hälfte, zwei Drittel, drei Viertel oder einen beliebigen Bruchteil benötigten." [6]
"Wir verwendeten eine etwa 12 Ellen lange, eine halbe Elle breite und drei Finger breite dicke Planke oder Bohle. An ihrer Schmalseite wurde eine etwa einen Finger breite, vollkommen gerade Rinne eingeschnitten. Diese glätteten und polierten wir und kleideten sie mit möglichst glattem gut poliertem Pergament aus. In der Rinne ließen wir eine harte, glatte und vollkommen runde Bronzekugel rollen. Wir lagerten das eine Ende ein bis zwei Ellen höher als das andere und ließen, wie ich soeben sagte, entlang der jetzt schief liegenden Rinne die Kugel rollen. Die zum Abrollen benötigte Zeit stellten wir mit Hilfe einer noch zu schildernden Methode fest. Diesen Versuch wiederholten wir mehrere Male, um die Messgenauigkeit der Zeit soweit zu erhöhen, dass die Abweichungen zwischen je zwei Beobachtungen nie größer als ein Zehntel Pulsschlag waren. Als dieses vollbracht war und wir uns von der Zuverlässigkeit der Methode überzeugt hatten, ließen wir die Kugel nur den vierten Teil der Gesamtlänge der Rinne durchlaufen; als wir die hierfür nötige Zeitspanne maßen, stellten wir fest, dass sie genau die Hälfte von der im ersten Versuch gemessenen betrug. Dann untersuchten wird andere Entfernungen und verglichen die zum Durchlaufen der gesamten Länge der Rinne benötigte Zeit mit der für die Hälfte, zwei Drittel, drei Viertel oder einen beliebigen Bruchteil benötigten." [6]
Das folgende Zitat offenbart ein weiteres Prinzip der modernen Physik: Naturgesetze sind Gesetze zur Angabe von Durchschnitts- oder Mittelwerten. Erst die durchschnittliche Zahl aus vielen Wiederholungen eines Experiment, gilt als echter Messwert, nicht die Einzelmessung an nur einem Vorgang:
ZITAT:
"Bei diesen Versuchen, die wir alle hundertmal wiederholten, erhielten wir stets das Ergebnis, dass sich die zurückgelegten Strecken wie die Quadrate der Zeiten verhielten. Das traf für alle Neigungen der Ebene, d.h. der Rinne zu, über die wir die Kugel rollen ließen. Auch beobachteten wir, dass die Laufzeiten für verschiedene Neigungen der Ebene genau in dem Verhältnis zueinander standen, das der Autor dafür abgeleitet und vorhergesagt hatte ..." [6]
"Bei diesen Versuchen, die wir alle hundertmal wiederholten, erhielten wir stets das Ergebnis, dass sich die zurückgelegten Strecken wie die Quadrate der Zeiten verhielten. Das traf für alle Neigungen der Ebene, d.h. der Rinne zu, über die wir die Kugel rollen ließen. Auch beobachteten wir, dass die Laufzeiten für verschiedene Neigungen der Ebene genau in dem Verhältnis zueinander standen, das der Autor dafür abgeleitet und vorhergesagt hatte ..." [6]
ZITAT:
"Zur Messung der Zeit verwendeten wir ein großes, mit Wasser gefülltes, in erhöhter Lage aufgestelltes Gefäß: auf seinem Boden war ein Röhrchen mit kleinem Durchmesser angelötet, durch das ein dünner Wasserstrahl herausspritzte. Während der Laufzeit der Kugel über die ganze Länge der Rinne oder über einen Bruchteil ihrer Länge wurde das ausgelaufene Wasser in einem kleinen Glas gesammelt und anschließend auf einer sehr genauen Waage ausgewogen; die Differenzen und Verhältnisse der Gewichte gaben uns die Differenzen und Verhältnisse der Zeiten, und zwar mit solcher Genauigkeit, dass trotz vieler, vieler Wiederholungen keine nennenswerten Schwankungen der Messwerte auftraten." [6]
"Zur Messung der Zeit verwendeten wir ein großes, mit Wasser gefülltes, in erhöhter Lage aufgestelltes Gefäß: auf seinem Boden war ein Röhrchen mit kleinem Durchmesser angelötet, durch das ein dünner Wasserstrahl herausspritzte. Während der Laufzeit der Kugel über die ganze Länge der Rinne oder über einen Bruchteil ihrer Länge wurde das ausgelaufene Wasser in einem kleinen Glas gesammelt und anschließend auf einer sehr genauen Waage ausgewogen; die Differenzen und Verhältnisse der Gewichte gaben uns die Differenzen und Verhältnisse der Zeiten, und zwar mit solcher Genauigkeit, dass trotz vieler, vieler Wiederholungen keine nennenswerten Schwankungen der Messwerte auftraten." [6]
Phänomenologie
In der Physik begegnet man gelegentlich der Aussage, dass ein bestimmter Ansatz rein phänomenologisch sei. Damit ist dann gemeint, dass man die sichtbaren oder allgemein die direkt messbaren Vorgänge beschreibt, sie in einen mathematischen Zusammenhang bringt, aber keine Theorie der Ursachen aufstellt. Wenn Galilei eine Formel dafür angibt, wie weit ein Stein nach 3 Sekunden gefallen ist, dann geht er also phänomenologisch vor. Er hat bei seinen Betrachtungen nicht darüber nachgedacht, was die Fallbewegung verursacht. Das tat später unter anderem Isaac Newton mit seiner Hypothese einer Gravitationskraft. Siehe auch 👉 Phänomenologie
Persönliche Einschätzung
Die Beschäftigung mit Galileis Gedankenwelt bietet mehrere Vorteile, die die Ideen von Physikern aus nachfolgenden Jahrhunderten nicht immer bieten konnten: a) die Sprache ist vielleicht etwas altertümlich aber dennoch gut verständlich, b) die Mathematik geht nicht wirklich über das Niveau des zehnten Schuljahres hinaus, c) viele Prinzipien der Naturwissenschaften die heute kaum mehr erwähnt werden, waren damals neu und wurden von Galilei ausdrücklich genannt, und d) die Experimente benutzen keine teuren Apparaturen, man kann sie leicht selbst nachstellen. Galileis Bücher liegen in guten deutschen Übersetzungen vor und können leicht über den Buchhandel oder auch im Internet gefunden werden.Fußnoten
- [1] Der älteste Belegt, dass sich Galileo Galilei mit der Dauer von Fallbewegungen beschäftigt hat, stammt aus einem fast verlore gegangenen Fragment aus einem Briefwechsel aus dem Jahr 1604: Drake S. Galileo’s 1604 Fragment on Falling Bodies (Galileo Gleanings XVIII). The British Journal for the History of Science. 1969;4(4):340-358. doi:10.1017/S0007087400010244
- [2] Galileo Galilei: Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend. In: Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften. Leipzig 1890, 1904, 1891. Nachdruck: Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1964. S.140-160.
- [3] Das Wort Denkökonomie wurde vor allem im 19. Jahrhundert als leitendes Prinzip des Erkenntnisgewinns angenommen. Siehe mehr unter 👉 Denkökonomie
- [4] Als Reduktionismus bezeichnet man die Vorstellung, dass es fundamentale, einfach formulierbare Erkenntnisse gibt, aus denen man dann deduktiv alle Erscheinungen der Welt ableiten kann. Im 18. Jahrhundert und 19. Jahrhundert galt die Mechanik als diese grundlegende Wissenschaft. Heute betrachtet man vielfach (aber nicht unwidersprochen) die Physik als die fundamentale Wissenschaft, auf die alles andere reduziert werden kann. Siehe mehr unter 👉 Reduktionismus
- [5] Der mittelalterliche Philosoph Wilhelm von Ockham schlug als Denkprinzip vor, dass man von allen möglichen Erklärungen die einfachse wählen sollte. Die anderen Erklärungen soll man gleichsam wie mit einem Rasiermesser hinweg schneiden. Siehe auch 👉 Ockhams Rasiermesser
- [6] Zum Fallrinnen-Experiment: Galilei, Galileo (1638): Discorsi e Dimostrazioni Matematiche intorno a due nuove scienze, deutsche Übersetzung: Arthur von Oettingen, Leipzig, 1890/1. (Tag 1 und 2, Tag 3 und 4, Tag 5 und 6. Das Experiment mit der Fallrinne findet man im Buch zum dritten Tag, der dritte Tag behandelt gleichförmige und beschleunigte Bewegung und enthält das Experiment mit der schiefen Ebene.
- [7] Stefan Zweig: Sternstunden der Menschheit. Fünf historische Miniaturen. Insel Verlag, Leipzig 1927.